分类讨论思想VIP免费

§2分类讨论思想方法解读1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化解题思路，降低问题难度．2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；④反比例函数y＝kx(x≠0)的反比例系数k，正比例函数y＝kx的比例系数k，一次函数y＝kx＋b的斜率k与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数y＝xa的幂指数a的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指数函数y＝ax及其反函数y＝logax中底数a＞1及a＜1对函数单调性的影响；⑦等比数列前n项和公式中q＝1与q≠1的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率k是否存在．4．分类讨论的一般流程：明确讨论的对象确定讨论的全体选择分类的标准逐类进行讨论获得初步结果归纳整合写出结论分类突破一、根据概念分类例1若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析设函数y＝ax(a＞0且a≠1)和函数y＝x＋a.则函数f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝ax(a＞1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是a＞1.a＞1归纳拓展有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题．变式训练1设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较loga(1－x)与loga(1＋x)的大小．解 0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＋x＞1,0＜1－x2＜1.①当0＜a＜1时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，所以loga(1－x)－loga(1＋x)＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]＝loga(1－x2)＞0；②当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0，所以loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)＞0.由①②可知，loga(1－x)＞loga(1＋x).二、根据运算需要分类例2已知在等比数列{an}中，a1＝1，Sn是其前n项和，且ak＋1，ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列．(1)求数列{an}的公比；(2)试判断Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列，并说明理由．解(1)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则ak＋1＝qk，ak＋3＝qk＋2，ak＋2＝qk＋1，依题意得2qk＋2＝qk＋qk＋1，由于qk≠0，所以2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12.(2)当q＝1时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，显然Sk＋1＋Sk＋2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列；当q＝－12时，Sk＋1＝1－－12k＋11－－12＝231－－12k＋1，同理可得Sk＋2＝231－－12k＋2，Sk＋3＝231－－12k＋3，于是Sk＋1＋Sk＋2＝231－－12k＋1＋231－－12k＋2＝232－－12k＋1－－12k＋2＝431－－12k＋3＝2Sk＋3，所以Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2能构成等差数列．综上所述：当q＝1时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2不能构成等差数列；当q＝－12时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2能构成等差数列．归纳拓展分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比如：除法运算中分母是否为0；解方程、不等式中的恒等变形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底数是否大于1；数列运算中对公差、公比限制条件...