中考数学折叠问题专项突破5--折叠中等腰三角形存在性问题VIP专享VIP免费

中考数学折叠问题专项突破5--折叠中等腰三角形存在性问题模块五图形折叠中的等腰三角形存在性问题精典讲解】1、如图例7-1,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把AEBF沿EF折叠，点B落在B'处，若ACDB恰为等腰三角形，则DB'的长为.【解析】根据ACDB'为等腰三角形，以CD为腰或底分三种情况讨论，①DB'=DC；②CB』CD；③CB'=DB'•对于①DB』DC，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以D为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B'•对于②CB=CD，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以C为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B•对于③CB'=DB'，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，弧与CD垂直平分线的②CB』CD,如图例7-3所示•由折叠性质可知：BF=BF=CD=16，此时F点与C点重合，不符题意.③CB'=DB'，如图例7-4所示•由题意得，DN=CN=8,因为AE=3，所以EM=5.BE=BE=13.在Rt^EB'M中，由勾股定理得，BM=12.所以BN=4.在Rt^DB'N中，由勾股定理得，BD=4f5.综上所述，BD的长为16或4^5.【小结】以CD为腰或底分三种情况讨论，排除其中一种，利用勾股定理求解.针对训练】1、如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P为边AD上一动点，连接BP，把AABP沿BP折叠，使A落在A'处，当DC为等腰三角形时，AP的长为（）吨"或菩D.2或埠【分析】根据△ADC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①AD=A'C,②AD=DC,③CA=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意.【解析】①如图，当AD=AC时，过A'作肪丄AD,交DC于交AB于F,则EF垂直平分CD,EF垂直平分AB由折叠得，AB=AB=2,・・・AB+AC=2+2=4,・・・点A'落在BC上的中点处1此时,ZABP=—ZABA'=45°,AAP=AB=2.2综上所述，当△ADC为等腰三角形时，AP的长为|<3或2.故选C.【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、如图，菱形ABCD的边，AB=8,ZB=60,P是AB上一点，BP=3,Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A'.当CA'的长度最小时，C'Q的长【分析】作CH丄AB于H，如图，根据菱形的性质可判断AABC为等边三角形，则CH二空AB=4寿，AH=BH=4，再利用CP=7勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点A'在2以点P为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A'在PC上时，CA'的值最小，然后证明CQ=CP即可.【解析】作CH丄AB于H，如图，‘•’菱形ABCD的边AB=8，ZB=60，OAAABC为等边三角形，CH=乞3AB=4爲，AH=BH=4，2PB=3，.HP=1，在RtACHP中，CP=$(4、®+12=7，・.•梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A'，.点A'在以点P为圆心，PA为半径的弧上，.当点A'在PC上时，CA'的值最小，.ZAPQ=ZCPQ，而CD//AB,.ZAPQ=ZCQP，.ZCQP=ZCPQ，.CQ=CP=7.【小结】考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.也考查了折叠的性质.解决本题的关键是确定理在PC上时C/‘的长度最小.3、如图，在矩形ABCD中，AB=V3,BC=3，将AABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F,连接BP交AC于点G，交AD于点下列结论不正确的是（）A.比=丄CG3B.△PBC是等边三角形C．AC=2APD．S=3S△BGC3△AGP【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出ZACB=30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明ABCP为等边三角形；运用射影定理求出线段CG、AG之间的数量关系,进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【解析】如图，•・•四边形ABCD为矩形，・・・ZABC=90°；由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，而AB=V3，BC=3，AAC=2V3，AB=1AC，2:.ZACB=30°；由翻折变换的性质得：BP丄AC，ZACB=ZACP=30°，BC=PC,AB=AP，BG=PG，AGC=V3BG=V3PG，ZBCP=60°，AC=2AP,:.△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；由射影定理得：BG2=CG・AG,；.AG=^BG,CG=3AG,:•S厶BCG=3SMBG；由题意得：SMBG=SAAGP，・SMGC=3SMGP，故选项D正确；故选：A【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析...