高等数学第二章 极限与连续VIP免费

第二章极限与连续§2.1数列的极限§2.2函数的极限§2.3变量的极限§2.4无穷大量与无穷小量§2.5极限的运算法则§2.6两个重要的极限§2.7利用等价无穷小量代换求极限§2.8函数的连续性第二章§2.1数列的极限定义：由无穷多个数，构成的有序的一列数：123,,,,,naaaa称为无穷数列，简称数列，简记为na数列中的各个数称为数列的项，na称为通项。数列na可以看成以正整数n为自变量的函数。(一)数列例111111,,,,,,;248162n例2132540,,,,,,1+,;2345nn例31,1,1,,1,1,;这种数列称为常数数列。例41,1,1,,1,;n例52,4,6,,2,n1.数列极限的定性描述r引例1.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.n如图所示,可知当n无限增大时,无限逼近S(刘徽割圆术),用其内接正n边形的面积r(二)数列极限“割之弥细,所失弥小，割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想我国古代魏末晋初杰出数学家刘徽指出：引例２例1中的数列来源于我国一篇古典名著.公元前四世纪，我国春秋时期的哲学家庄子（约公元前369－前286）在《庄子·天下篇》一书中有一段富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来.便得到数列12n当n无限增大时,12n无限逼近0定义设naa数列,实数。如果n无限增大时，na无限趋近于常数a则称数列na以a为极限，记作limnnaa或()naan此时，称数列na收敛.否则（即n时，na不以任何常数为极限）,称数列na发散。说明：(1).引例1中，圆的面积limnnSA(2).引例2中，剩余棒头的长度10,()2nn观察上例中，数列的极限：例2中,1lim[1+]1;nnn例3中,lim11;n例4中,lim1nn不存在；n时,数列1n没有固定变化趋势，发散。当例5中，lim2nn不存在。当n时,数列2n的变化趋势为无限增大，发散。记lim2nn2、数列极限的定量描述逐次加入定量成分，把极限定性描述转为定量描述。(1)如果n无限增大时，na无限趋近于常数a则称数列na以a为极限.(2)当n充分大时，naa任意小，则称数列na以a为极限.(3)0,当n充分大时，naa则称数列na以a为极限.(4)0,当n>N时,总有naa则称数列na以a为极限.定义:若数列及常数a有下列关系:当n>N时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释(动态地看定义):axan)(Nn即),(axn)(Nnaxnnlim或)(naxn则称该数列的极限为a,aa)(1Nx2Nx当n>N时,所有的点nx都落在(,)aa内。只有有限个点nx(,)aaa落在的邻域之外。几点注意（1）定义中的常数ε具有二重性：即具有很小正数的固定性，又具有随意小的任意性。因为它是固定的正数，所以才能由nxa求得相应的时刻N，从而由nxa刻画nx与a的接近程度；又因为ε可以任意小，所以才能由nxa反映nx无限趋近于a的变化趋势.（2）ε是首先给定的，N是由ε确定的，有时记作N＝N（ε）.一般说来，ε越小N就越大.由于N是通过不等式nxa求得的，因而对应于ε的N不是唯一的，关键是反映变化过程时刻的N的存在性，而不是唯一性.例6.已知证明数列的极限为1.证:,0因此,取1[]1,N则当Nn时,就有1nx故1)1(limlimnnxnnnn由定义来证，,N想要找到一自然数当Nn时,就有1nx,N希望找到当Nn时,有1)1(nnn,N只要找到当Nn时,有1n,N希望找到当Nn时,有1n对问题进行等价的转化例6.已知证明数列的极限为1.证2:1nx1)1(nnn,0欲使只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn1[]1,N取也可“ε－N”定义证明的步骤，limnnaa分三步：第一步，给定任意正数ε；第二步，由寻找正整数N，这是关键的一步；第三步，按照定义的模式写出结论.例7.已知证明证:0nx2)1(1n11n0,欲使只要n取[11]1,N则当Nn时,就有,...