高等数学 第二章 极限与连续 2.2 函数的极限VIP免费

基础课教学部数学教研室高等数学—第二章极限与连续第二节函数的极限自变量变化过程的六种形式：本节内容:一、时，函数f(x)的极限二、时，函数f(x)的极限三、左极限与右极限四、关于函数极限的定理()()110y=fx=+xx一、时，函数f(x)的极限例如函数注：是指x沿x轴正向和负向同时趋于。x当无限增大时，函数值y无限接近于常数1。定义2.3对于函数f(x)，0,M则称当xAxfx)(limAxfA)(xMxM或记作,0趋于无穷大时，函数以A为极限，MM)(xfyAAoxyA几何解释:若例1证明.01limxx证明：01x1x，取1,M因此，就有故,0欲使即oxy1()fxx，()0fx设两种特殊情况:Axfx)(lim,0,0X当时,有Axf)(,0,0X当Xx时,有Axf)(1lim0.2xx例2用定义证明证明：1().2xfx对0,ε要使()0fx只要12,x即1lg.lg2x因此，取1lglg2M，当x>M时,有()0fx恒成立，即1lim0.2xx设102x12xlim20xx练习：用定义证明1lim0xx()21fx=x+二、时，函数f(x)的极限考虑函数和()()2411212xgx=xx的图像。()fx很明显，当和()gx均无限接近于2。12x时，函数000:()(),().fxxfxxfxx由此例可看出函数在点处的极限值与在有无定义无关而只与在附近的变化趋势有关定义2.4在点的某去心邻域内有定义,设函数,0,0当00xx时,有Axf)(则称常数A为函数当时的极限，Axfxx)(lim0或若记作注意：（1）A为唯一确定的有限常数；0xx（2）表示x从的左右两侧同时趋于；0x0x（3）极限A的存在与否与f(x)在处有无定义无关。证明：0()fxx例3证明设对于任意给定的要使只要取即有，当时，0()fxx恒成立，因此例4证明证明:Axf)(故,0取,当时,必有2121xx，因此211lim2.1xxxAxf)(练习用定义证明三、左极限与右极限考虑函数1,0;(),0.xfxxx在x=0处的极限.当x仅从0的左侧趋于0时，f(x)趋于1（左极限）；当x仅从0的右侧趋于0时，f(x)趋于0（右极限）。左极限：0(0)fxAxfxx)(lim0,0,0当),(00xxx时,有右极限：0(0)fxAxfxx)(lim0,0,0当),(00xxx时,有定义2.5例如，1,0;(),0.xfxxx0lim()1xfx，0lim()0.xfx定理2.1（极限存在的充要条件）Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00四、关于函数极限的定理1,0;(),0.xfxxx注意：左右极限都存在且相等时，函数才存在极限。这里A必为有限常数。如前例中，0lim()1xfx0lim()0.xfx因则0lim()xfx不存在。0,10,00,1)(xxxxxxf讨论0x时，)(xf的极限是否存在.xyo11xy11xy解:利用定理2.1，因为)(lim0xfx)1(lim0xx1)(lim0xfx)1(lim0xx1显然，(00)(00),ff所以)(lim0xfx不存在.例5设函数0x讨论当例6的极限。时，函数()fxx解：()fxx因此，)(lim0xfx0lim()xx0，0lim()xfx0limxx0.由定理2.1可知，0lim()xfx0limxx0.练习0lim.xxx验证不存在,0,0xxxx定理2.2（极限的保号性）如果0lim()xxfxA，而且A>0(或A<0)，则总存在0，使得当00xx时，有()0fx(或()0).fx证明:已知即,0当时,有当A>0时，取正数则在对应的邻域(<0))(A)0(上有定理2.3如果0lim()xxfxA，并且(()0)fx或，0(0).AA则或()0fx证明:反证法.则由定理2.2，的某去心邻域，使在该邻域内与已知所以假设不成立，即.0A(同样可证0)(xf的情形。)存在不妨设A<0，条件矛盾，1.观察下列函数的变化趋势1(1)yx01limxx01limxx1(2)xye1limxxe10limxxe10limxxe1limxx01limxx不存在10limxxe不存在练习limarctanxxlimarctanxx(3)arctanyxlimarctanxx不存在limarccotxxlimarccotxx(4)arctanyxlimarccotxx不存在(5)limsin,limcos,xxxx不存在不存在震荡无极限.xy1sin01limsin.xx不存在1(6)sinyx返回本章目录