第二节 随机变量的方差和标准差VIP免费

第二节随机变量X的数学期望，描述了随机变量X取值的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道X的数学期望有时还不能完全刻划随机变量X的统计特征。比如，某厂生产一批元件，平均使用寿命E(X)=1000小时，仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏，因为有可能有一半的元件质量很高，寿命在1500小时以上，而另一半却质量很差，寿命不足500小时，从而反映出质量不稳定。可见应进一步考察元件寿命X对期望E(X)的偏离程度。下面介绍的方差就是用来描述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的数量特征。一、方差的定义如果随机变量X的数学期望存在，称X-E(X)为随机变量X的离差。由于0)(E)(E)E(EXXXX，离差有正有负，为了消除离差符号的影响和数学上便于处理，用2)](E[XX来衡量X与E(X)的偏差。定义设X是随机变量，数学期望E(X)存在，并且2)](E[EXX也存在，则称之为X的方差，记作D(X)，即2)](E[E)(DXXX)(DX称为X的标准差。从方差的定义我们可以看出，X的方差D(X)实际上是随机变量2)](E[XX的期望，因此0)(DX。当随机变量的可能取值以较大的概率集中在数学期望附近时，方差较小，否则方差较大。因此，方差的大小可以反映随机变量分布的分散程度。2)](E[E)(DXXX计算公式:2)](E[E)(DXXX22)E()(E)(E2)(EXXXX22)E()(EDXXX])E()(E2[E22XXXX22)E()(EXX1.若X是离散型随机变量，其概率分布为,}{PiipxX,2,1i则.)(E22iiipxX计算公式:22)E()(EDXXX2.若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则.d)()(E22xxfxX设X表示机床A一天生产的产品废品数，Y表示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：X0120.5P30.30.10.1例1解Y0120.6P30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。.8.0)(E)(EYX均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.X0120.5P30.30.10.1Y0120.6P30.10.20.1.8.0)(E)(EYX均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.，6.11.091.043.015.00)(E2X,8.11.092.041.016.00)(E2Y.96.08.06.1)](E[)(E)(D222XXX.16.18.08.1)](E[)(E)(D222YYY由于D(X)