第三章 2二维随机向量数字特征VIP免费

复习两个重要的数字特征——随机变量取值的平均水平1.期望连续型离散型XdxxfxgXpxgXgEkkk,)()(,)()]([1随机变量函数的期望(),EXxfxdx1,kkkxpEX离散型连续型随机变量期望数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C;2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(aX+b)=aEX+b2.方差——度量随机变量取值在其中心附近的离散程度X为离散型，P(X=xk)=pk212[()]()[()]()kkkxEXpDXxEXfxdxX为连续型，X~f(x)DX=EX2-(EX)21.设C是常数,则D(C)=0;反之，若D（X）=0，则存在常数C，使P{X=C}=1,且C=E(X);2.若C是常数,则D(CX)=C2D(X);方差的性质3.若C是常数,则D(X+C)=D(X);4.D(X)=E(X2)-[E(X)]2分布分布列或分布密度期望方差B(n,p)(0—1)ppqkkqpkXP1)(knknkqpCkXP)(P()!)(kekXPk33常用随机变量的期望与方差常用随机变量的期望与方差1,10,1,0qppk0,1,,,,101knppq,1,0,0knpnpqU(a,b)E()其它,0;,1)(bxaabxf0,)2)(exp(21)(22xxf00,00,)(xxexfx2ba12)(2ab2N(,2)121分布分布列或分布密度期望方差3.23.2随机向量的数字特征随机向量的数字特征一、定义3.8设（Ｘ1，Ｘ2，…Ｘｎ）是n维的随机向量，而且每一个随机变量Xi的数学期望都存在，i=1,2,…,则称1212(,,,),,,TnnEXEXEXXXX是（）的期望或均值若(,)XY是二维随机变量，(,)gxy是二元连续函数，且(,)Zgxy定理2：(1).若(,)XY的分布律为{,}ijijPXxYyP，且,1(,)ijijijgxyP绝对收敛；则EZ=,1(,)ijijijgxyP。例4已知随机变量(X,Y)的分布律求E(XY)xy1200.150.1510.450.25解:)(XYE15.01015.02045.01125.02195.0(2).若(,)XY的概率密度为(,)fxy，且(,)(,)gxyfxydxdy绝对收敛，则：EZ=(,)(,)gxyfxydxdy。例1二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为.,0,10,20,2),(其他yxyxyxf求EX,E(XY).例1二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为.,0,10,20,2),(其他yxyxyxf求EX,E(XY).解EXdxxfxX)(()(2)Xfxxydy20(2)xydy32x02x302()20Xxxfx即其他EXdxxfxX)(2032xxdx131200(2)xyxydxdyE(XY)(,)xyfxydxdy0.Eg（x，y）=(,)(,)gxyfxydxdy。二、随机向量和与差的数学期望和方差1111[]()nniiiiEXEXnn11()()()nnEXXEXEX性质1设Ｘ1，Ｘ2，…Ｘｎ每一个随机变量Xi的数学期望都存在，则性质2.假设X、Y相互独立，且EX、EY存在，则E(XY)=EXEY;1212()()()()nnEXXXEXEXEX设Ｘ1，Ｘ2，…Ｘｎ相互独立且期望都存在，则反之未必成立:E(XY)=E(X)E(Y)≠X,Y独立性质3.假设X、Y相互独立，且方差存在，则1212()()()()nnDXXXDXDXDX设Ｘ1，Ｘ2，…Ｘｎ相互独立且方差都存在，则反之未必成立:()()()DXYDXDY证明:22(){()}[()]DXYEXYEXY2222{2}{[()]2[()][()][()]}EXXYYEXEXEYEY()()2()2()()DXDYEXYEXEYX与Y独立()()()EXYEXEY()()()DXYDXDY且X1~U[0,6],X2~P(3),X3~N(0,22),例2设X1,X2,X3相互独立，记Y=X1-2X2+3X3,求EYDY.解EX1=6/2=3,DX1=62/12=3,EX3=0，DX3=4,EX2=3,DX2=3,EY=E(X1-2X2+3X3)=EX1-2EX2+3EX3=-3.EX1=6/2=3,DX1=62/12=3,EX3=0，DX3=4,EX2=3,DX2=3,DY=D(X1-2X2+3X3)=DX1+4DX2+9DX3=51.例3设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望解:(23)EXY因为X，Y，Z独立，2X+3Y和4Z-1也相互独立(41)EZ3232EXEY()EU(23)(41)EXYEZ419EZ()EU272(23)(41)EXYEZ三、随机变量的相关系数和相关性两个变量的相关性是概率论与数理统计中的重要概念，从理论上对两变量的相互关系加以研究.比如：吸烟和患肺癌有什么关系？受教育程度...