求极限的几种方法论文VIP免费

求极限的几种方法崔令坤摘要：极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基础。关键词：高等数学，极限方法能力。定义:设函数在点的某个去心邻域内有定义，即存在1.用极限定义求极限例1：（1）用放法证明:(2)设（1）证明：，要记此式可改写成：用到了二项展开式得：当时至此要，只要即故令，则时，有2）证明：当A为有限数时，因为，故使得，当n>N时有从而，上式注意：这里已为定数，因而，当时，于是，令，则时2.用Cauchy准则证明极限：例：设试证收敛，证明：因为对有，（只要（即）），故令，则时，有，收敛从而，结论得证。3.利用单调有界原理证明极限存在要点：单调有界原理单调递增，有上界或，有单调递减，有下界。例：证明：数列单调下降有界，从而有极限。证明：利用已知不等式有故严格单调递减又因为即有下界，单调递减，故存在。数列与子列，函数与数列的极限关系大家都知道数列与子列有如下的极限关系（当时）任意子列有（当时）类似的，函数与数列有如下的极限关系：；若，则有当时，作为分条件都可以减弱。例：试证:证明：只需证明充分性，而必要性显然成立按已知条件当时，又，当时，于是令，则时恒有故5.利用等价代换和初等变形求极限a大家在求乘除极限里，其因子可用等价因子代替，极限不变。最常用的等降价关系如：当时，（其中），例：1)2)3)4)设有限数a,b,A均不为零，证明：的充分必要条件是解答：1)解：由于，故原式=2）解：原式=3）解：原式=4）证明：（）左边的极限存在表明：时，，故从而有：===等价代换=====()右边的极限存在表明：当时，由于对数函数的连续性可知，即：，故有从而有:注：等价代换原理，来源与我分数约分，只能对乘除式里的因子进行代换，在分子（分母）多项式里的单项式不可作等价代换，否则会导致错误。b.利初等变形求极限要点：用初等数学的方法，将加以变形，然后求极限，主要对进行紧缩。例：求1）.2)3)4)1）解：1）式的右边乘以得：从而（当时，）2)解:2)式乘以，再对分子反复利用（当时）从而从而，有：4）解：从而，有：6.利用已知极限1）若，则因为2）若，则。因为Euler常数的经典极限：存在。例1：求的极限解：原式=（其中C为Euler常数，当时，）例2：试借用Stirling公式：来求极限。解：从而，有（其中C为Euler常数）7利用变量替换求极限为了将未知的极限简化，或转化为已知的极限来求，可根据极限的特点，引入新的变量，来替换原来的极限过程，转化为新才极限的过程。例：若试证明：证明：令则当时，于是从而有：8两边夹法则当极限不易求出时，可以考虑将极限适当变形。即将极限适当放大或缩小，使原极限变为新的极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此极限值。例：求极限的值（1）（2）(1)解:由于几何平均数小于算术平均数，故分母中的因子由此可知：而9L’Hospital法则（1）在使用L’Hospital法则之前，必须考虑它是否属于七种不定型之一。不定行：“”，“”，“”，“”，“”，“”，“”。否则就不能用它。例：1）2）3）解：由L’Hospital法则：由于.（2）L’Hospital法则并不是万能的，有时用L’Hospital法则求不出极限，并等于极限不存在。例如，就是如此。这是因为L’Hospital法则只是充分条件，而不是必要条件。（3）L’Hospital法则告诉我们，对于型或型,当存在时也存在吗?请看下面的例子例：求解：这是型，但我们并不能根据当时，的极限不存在，就错误地得出也不存在的结论----事实上，显然有。因此，不存在并不表示本身存在或是不存在，它不仅仅意味着，此时不能使用L’Hospital发展，而应改用其他方法来讨论（4）型的L’Hospital法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子趋不趋向没有关系。请看下面的例子。例：设在内可微，且，当时，，且（有限数，或），则证明：已知，因此保持取，应用Cauchy中值定理，然后令知函数差分比（当时）.（1）剩下的问题在于根据，（时），由差分比推出（当时）。事实上可以改写成，因此（2）1）若A=有限数，有（2）可得（3）保持，令，则使当时，有.再将固定，令x继续趋向，据（当时），知，使得时，有，由于由（3）...