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本节内容提要一、微分的定义三、微分的几何意义四、微分公式和运算法则五、微分在近似计算中的应用二、可微的充要条件第六节函数的微分及其应用本节重点：函数的微分定义，计算本节难点：函数的微分定义教学方法：启发式教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合教学课时：4课时一、微分的定义前面我们学习了导数，导数即函数的变化率0limxyx它表示函数相对于自变量变化的快慢程度。在微分学中，很多情形下要研究函数的增量，特别是当自变量的增量很小时yx首先，看下面例子例1：设一正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长从变化到(如图），求薄片面积的改变量。0x0xx解：此薄片在温度变化前后的面积分别为200()sxx200()()sxxxx故薄片面积的改变量为22200000()()()2ssxxsxxxxxxx由两部分组成：一部分是的线性函数（图中有斜线的部分的面积）；s02xxx2x另一部分是（图中有网格线的小正方形部分的面积）.当时，第二部分是一个比高阶的无穷小，即，因此，若边长的改变很微小，即很小时，面积的改变量就可用第一部分来表示，而且越小，其近似程度就越好，即0x20()(0)xxx||x02xxx||x02sxx抛开基具体意义，抽象一下，可归纳为：2）分为二部分，一是即的线函数，另一部分是当时比高阶的无穷小。yAxx0xx3）可以用第一部分A来近似表示函数的增量，这即是微分的概念xy1）给自变量的取值的增量，相应有函数的增量00()()yfxxfx0xx定义：设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果函数的增量可以表示为其中A是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，则称函数在点是可微的，而叫函数y=f(x)在点相应于自变量增量的微分，记作()yfx0x0xx00()()yfxxfx()yAxoxx()oxx()yfx0x0xxAxdyAx例2：求函数在x=1处的微分3yx3323(1)13(3)yxxxx解：上式由两部分组成，一是，另一部分是的高阶无穷小，（当）故在x=1处的微分为3x233xxx0x3yx3dyx返回二．可微的充要条件（可微与可导关系）定理：函数在点处可微的充分且必要条件是函数f(x)在点处可导，并且()yfx0x0x00|().xxdyfxx(函数在一点处可微分与可导是等价的)证明：设涵数y=f(x)在处可微，由微分定义有两边同除以有当时，取极限，有0x()yAxoxx()yoxAxx0x00()limlimxxyoxAAxx反之：设f(x)在处可导，即存在，由极限与无穷小的关系；上式可以表示为，则即故f(x)在点处可微，且0x00lim()xyfxx0()yfxx0,(0)x00()()()yfxxxfxxox()yAxox00|()xxdyfxx一般地，把自变量增量称为自变量的微分，记作即，则函数y=f(x)的微分又可以记作：，于是即函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数又称为“微商xdxx()dyfxdx()dyfxdxdxdydx例3：求在x=1,时的增量及微分解：代入x=1,2yx0.1x222()2()yxxxxxx0.1x20.10.010.21y0.101()220.10.2xxdyfxxxdyy返回三、微分的几何意义函数y=f(x)的图形为一条曲线,对于，曲线上有一个确定的点，当x有微小增量时，得到曲线上另一点，直线MT是过M点的曲线的切线，由图可0x00(,)mxyx00(,)Nxxyy0,,()MQxNQyPQMQtanxfxdy即当是曲线上点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量，当很小时,比小得多，因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段yx||ydyx返回1.由微分定义,若要求函数的微分，只需计算函数的导数，再乘以自变量的dx,因此根据导数公式和求导的运算法则，即可得到微分的基本公式和运算法则，归纳总结如下：四、微分公式和运算法则()dyfxdx12)()dxxdx2113)()1darctanxdxx3)()lnxxdaaadx5)(sin)cosdxdx28)(cot)cscdxxdx1)()0dc4)()xxdeedx6)(cos)sindxdx27)(ta...