一、选择题（将正确答案填入题后的括号内,每题3分，共15分）1、1、已知X={a,b,c,d,e}，下列集族中，（）是乂上的拓扑.A.T={X,©,{a},{a,b},{a,c,e}}B.T={X,©,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}}C.T={X,©,{a},{a,b}}D.T={X,©,{a},{b},{c},{d},{e}}2、设X={a,b,c,d}，拓扑T={X,©,{a},{b,c,d}}，则X的既开又闭的非空真子集的个数为（）A.1B.2C.3D.43、在实数空间中，整数集Z的内部Zo是（）A.©B.ZC.R-ZD.R4、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集，则下列结论中正确的是（）A.若A=©，贝UAd=©B.若A={x0}，贝UAd=XC.若A={x,x}，则Ad=X一AD.若A={x,x}，则Ad=A12125、平庸空间的任一非空真子集为（）A.开集B.闭集C.既开又闭D.非开非闭二、简答题（每题3分，共15分）1、A空间22、T空间：13、不连通空间4、序列紧致空间5、正规空间三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）1、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（）2、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理（）3、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则Ad=e（）4、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集（）四、证明题（共50分）1、设X,Y,Z都是拓扑空间.f:XTY,g:YTZ都是连续映射，试证明gof:XTZ也是连续映射。（10分）2、设f:XTY是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f（X）是Y的一个连通子集.（10分）3、设X是Hausdorff空间，f:XTX是连续映射.证明A={xeXIf（x）=x}是X的闭子集.（10分）4、设X为非空集合，令T={AIA=X-C,其中C为至多可数集{0}余可数试证：（1）（X,T）是一个拓扑空间；（5分）余可数（2）若X不可数，（X,T）是连通空间；（5分）余可数（3）（X,T）为T但非T空间；（5分）余可数12（4）（X,T）是Lindeloff空间（提示：即证X的任一个开覆盖有至多可数覆余可数盖）。（5分）注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、选择题（将正确答案填入题后的括号内,每题3分，共15分）1、C2、B3、A4、A5、D二、简答题（每题3分，共15分）1、A空间2答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为A空间.22、T空间：1答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X是T空间.13、不连通空间答案：设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B，使得AoB=X侧称X是一个不连通空间4、序列紧致空间答案：设X是一个拓扑空间如果X中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称拓扑空间X是一个序列紧致空间.5、正规空间：答案：设X是一个拓扑空间，如果X中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X是正规空间.三、判断，并给出理由(20分，每题5分，判断2分，理由3分)1、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射()答案:丿理由：设f:XTY是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,e，易知它们在f下的原象分别是X4，均为X中的开集，从而f:XTY连续.2、设拓扑空间X满足第二可数性公理，则X满足第一可数性公理()答案：V理由:设拓扑空间X满足第二可数性公理，滋是它的一个可数基，对于每一个xeX,易知B={BeBlxeB}是点x处的一个邻域基，它是B的一个子族所以是可数x族，从而X在点x处有可数邻域基，故X满足第一可数性公理3、设A为平庸空间X(X多于一点)的一个单点集，贝()答案：x理由：设A={y},则对于任意xeX,x丰y,x有唯一的一个邻域X，且有yeXn(A-x)，从而Xn(A-x)制，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有Xn(A-y)=©，所以有Ad二X-A工©.4、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.()答案：V理由：设A是Hausdorff空间X的一个紧致子集，则对于任何xeX，若x电A，则易知x不是A的凝聚点，因此A=A，从而A是一个闭集.四、证明题(共50分)1、证：设W是Z的任意一个开集，由于g:YTZ是一个连续映射，从而g-i(W)是Y的一个开集，由f:XTY是连续映射，故f-1(g-i(W))是X的一开集，因此(gof)-1(W)二f-1(g-1(W))是X的开集，所以gof:XTZ是连续映射.2、证明：如果f(X)是Y的一个不连通子集，则存在Y的非空隔离子集A,B使得f(X)=AuB，于是f-1(A),f-1(B...
