椭圆与方程【知识梳理】1、椭圆的定义平面内，到两定点F、F的距离之和为定长2aQFF|<2a,a>0)的点的轨迹称为椭圆，其中两定点F、F称为椭圆121212的焦点，定长2a称为椭圆的长轴长，线段IFF|的长称为椭圆的焦距•此定义为椭圆的第一定义.122、椭圆的简单性质标准方程兰+竺=1(a>b>0)a2b2竺+乂=1(a>b>0)a2b2顶点坐标A(土a,0)、B(0,±b)A(土b,0)、B(0,±a)焦点坐标左焦点F(-c,0)，右焦点F(c,0)12上焦点F(0,c)，下焦点F(0,-c)12长轴与短轴长轴长2a、短轴长2b长轴长2a、短轴长2b有界性-a
b>0)上的任意一点，F(-c,0)，F(c,0)为椭圆的左右焦点，则IPF1=a+ex，IPF1=a-ex,其中a2b2121020ce=。a4、通径过椭圆兰+竺=1(a>b>0)焦点F作垂直于长轴的直线，交椭圆于A、B两点，称线段AB为椭圆的通径，且a2b2|AB|=竺5、焦点三角形P为椭圆兰+兰二l(a〉b〉0)上的任意一点,F(-c,0),F(c,0)为椭圆的左右焦点，称APFF为椭圆的焦点三角形,a2b21212A其周长为：C=2a+2c，若ZFPF=0，则焦点三角形的面积为：S=b2tan.AF1PF212AF\PF226、过焦点三角形直线l过椭圆乂+兰=1(a〉b〉0)的左焦点F，与椭圆交于A(x,y)、B(x,y)两点，称AABF为椭圆的过焦点三a2b2111222角形，其周长为：C=4a，面积为S=c|y-yI.AABFAABF11217、点与椭圆的位置关系P(x,y)为平面内的任意一点，椭圆方程为—+—=1(a〉b〉0):若聲+0=1，则P在椭圆上；若聲+0〉1，00a2b2a2b2a2b2则P在椭圆外;若洼+雪<1，则P在椭圆内。a2b28、直线与椭圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0，扌椭圆r:—+—=1(a〉b〉0)，贝卩a2b2l与r相交oa2A2+b2B2〉C2；l与r相切oa2A2+b2B2=C2；l与r相离oa2A2+b2B2b>0)上的任意两点，且xa2b21【推广1】直线l过椭圆乂+兰=1(a>b>0)的中心，与椭圆交于A(x,y),B(x,y)两点，P为椭圆上的任意一点,a2b21122则kk=_—(k,k均存在).APBPa2APBP【推广2】设直线l:y=kx+m(m丰0)交椭圆—+—=1(a>b>0)于C、D两点，交直线l:y=kx于点E.若E为11a2b222CD的中点，则kk=-竺.12a211、中点弦的斜率M(x,y)(y丰0)为椭圆兰+竺=1(a>b>0)内的一点，直线l过M与椭圆交于A,B两点，且|AM|=|BM|，则直线l000a2b2的斜率kABb2x0。a2y012、相互垂直的半径倒数的平方和为定值若A、B为椭圆C:宇+计=1(a>b>0)上的两个动点,O为坐标原点，且OA丄OB.则血+缶=定值11+a2b2【典型例题】x2y2例1、直线y=kx+1与椭圆w+—=1恒有公共点，则m的取值范围是5m【变式1】已知方程k一5+3_k=_1表示椭圆，则k的取值范围.y2x2【变式2】椭圆亠右+一=1的两个焦点坐标分别为.m+2m_2例2、已知圆A:(x+3)2+y2=100，圆A内一定点B(3,0),圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程。【变式1】已知圆O:(x+1》+y2二1,圆O:(x-1)2+y2二9，动圆M分别与圆O相外切，与圆O相内切。1212求动圆圆心M所在的曲线的方程.【变式2】已知AABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(4,0)，AABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为【变式3】已知动圆P过定点A(-3,0)，且在定圆B::x-3》+y2二64的内部与其相内切，求动圆的圆心P的轨迹方程．x2y2例4、已知椭圆代+f-x2y2【变式】若椭圆击+斗167x2y2例3、若P是椭圆+=1上的点，F和F是焦点，贝I」4312(1)PF•PF的取值范围为・21(2)|PF|•|PF|的取值范围为.(3)|PF|2+\PT|2的取值范围为・X2y2【变式1】点P(x,y)是椭圆©+才=1上的一点，F,F是椭圆的焦点，M是PF的中点，且|PF|=2,O为坐标原点，则|OM|=。x2y2【变式2】点P(x,y)是椭圆一+1=1(a>b>0)上的动点，F,F是椭圆的焦点，M是ZFPF的外角平分线a2b21212上一点，且FM•MP=0，则动点M的轨迹方程为2=1内有一点A(2,1)，F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求|PA|+|PF\的最大值与最小值=1的左、右两个焦...
