第2章 非线形方程及其非线性方程组解法VIP专享VIP免费

1第二章方程(组)的迭代解法§1引言§2迭代解法§3迭代公式的改进§4联立方程组的迭代解法§5联立方程组的延拓解法§6联立方程组的牛顿解法2求f(x)=0的根§1引言1.1涉及到的概念f(x)既可以是代数多项式,也可以是超越函数f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an(a0≠0)如三角函数,指数函数的复合函数等方程的根:满足f(x)=0的x重根和单根:如果f(x)=(x-)mg(x)且g()≠0,则称为f(x)=0的m重根.m=1称为单根,m>1称为重根.3§1引言1.2本章重点介绍求方程实根的迭代解法(适用于求解代数方程和超越方程)代数方程:根的个数与其最高次数相同,有成熟的圈定根的方法超越方程:可能有一个,几个根或者无解,无固定的圈定根的方法4§2迭代解法1本节重点（关键问题）根的初值的确定方法；迭代法的求解过程迭代法的收敛性迭代序列的误差估计5§2迭代解法2.1根的初值确定方法求方程根的几何意义:求曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。求根的具体步骤为:确定根的初值x0将x0进一步精确到所需要的精度62.1根的初值确定方法定理2.1设f(x)为区间[a,b]上的单值连续函数如果:f(a)·f(b)<0(2.1)则:[a,b]中至少有一个实根。如果:f(x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则:仅有一个实根(有单根的条件)ba72.1根的初值确定方法2.1.1画图法画出y=f(x)的略图,从而看出曲线与x轴交点的大致位置。也可将f(x)=0分解为1(x)=2(x)的形式,1(x)与2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间.1.具体步骤82.1根的初值确定方法2.1.1画图法2.实例已知:f(x)=x㏒x–1=0;求根的初值范围(1)可以改写为:㏒x=1/x(2)画出对数曲线y=㏒x,与双曲线y=1/x,它们交点的横坐标位于区间[2,3]内解:92.1根的初值确定方法2.1.1画图法xy1gxy023yx1102.1根的初值确定方法2.1.2扫描法1.原理对于给定的f(x)，设有根区间为[A,B],从x0=A出发，以步长h=(B-A)/n(n是正整数)，在[A,B]内取定节点：xi=x0＋ih(i=0，1，2，…，n)，从左至右检查f(xi)的符号，如发现xi与端点xi-1的函数值异号，则得到一个缩小的有根子区间［xi-1,xi］。关键是选取步长hh太小，资源耗费大；h过大，可能遗漏根。112.1根的初值确定方法2.1.3对分(二分)法1.具体步骤若f(r)·f(a)>0，取a=r；否则取b=r设[xk-1,xk]为含根子区间，初值对于根的误差要求为ε,令a=xk-1,b=xk,计算出f(a),f(b)后,进行如下:取[a,b]的中点r=(a+b)/2,计算f(r)若b-a>ε,转向Begin;否则结束Begin:122.1根的初值确定方法2.1.3对分(二分)法abx1x2abx*132.1根的初值确定方法2.1.3对分(二分)法14误差分析：第1步产生的21bax有误差21abx*||x第k步产生的xk有误差kkabx*||x2对于给定的精度,可估计二分法所需的步数k：2lnlnln2εabkεabk①简单;②对f(x)要求不高(只要连续即可).①无法求复根及偶重根②收敛慢注：注：用二分法求根，最好先给出f(x)草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将[a,b]分为若干小区间，对每一个满足f(ak)·f(bk)<0的区间调用二分法程序，可找出区间[a,b]内的多个根，且不必要求f(a)·f(b)<0。注：注：用二分法求根，最好先给出f(x)草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将[a,b]分为若干小区间，对每一个满足f(ak)·f(bk)<0的区间调用二分法程序，可找出区间[a,b]内的多个根，且不必要求f(a)·f(b)<0。15f(x)=0x=φ(x)等价变换思路:2.2迭代法的求解过程f(x)的根φ(x)的不动点由公式f(x)=0出发将其分解为等价形式x=φ(x)2.2.1建立迭代公式迭代函数例如：f(x)=x3+2x2-4=0可以分解为:x=x+f(x)=x3+2x2+x-4;x=2(1/(2+x))1/2x=x-(x3+2x2-4)/(3x2-4x)162.2迭代法的求解过程2.2.2迭代解法(简单迭代法)由初值x0出发,按迭代函数xn+1=φ(xn)(n=0,1,2,…)进行计算迭代公式x0,x1,x2,…,xn,称为迭代序列；迭代序列的值相应地称为根的0次,1次,2次,…,n次近似值；序列的计算过程称为迭代过程；如果序列x0,x1,x2,…收敛于,即nnxlim则为方程的根.证明：)()lim()(limlim1nnnnnnxxx172.2迭代法的求解过程例2.2：用迭代法求方程f(x)=x3-x-1=0在x=1.5附近的根，要求根的近似值稳定至小数...