专业知识分享非线性规划模型在上一次作业中，我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点，然而在实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解。实际问题中许多都可以归结为一个非线性规划问题，即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数，则这样的问题称为非线性规划问题。一般来说，解决非线性的问题要比线性的问题难得多，不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法。对于线性规划来说，其可行域一般是一个凸集，只要存在最优解，则其最优解一定在可行域的边界上达到；对于非线性规划，即使是存在最优解，却是可以在可行域的任一点达到，因此，对于非线性规划模型，迄今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法，我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法。一、非线性规划的分类无约束的非线性规划当问题没有约束条件时，即求多元函数的极值问题，一般模型为fminf(X)]xeR、X>0此类问题即为无约束的非线性规划问题无约束非线性规划的解法一般迭代法fminf(X)即为可行方向法。对于问题fxeR、X>0给出f(x)的极小点的初始值X⑼，按某种规律计算出一系列的X(k)(k二1,2,…)，希望点阵｛X(k)｝的极限X*就是f(x)的一个极小点。由一个解向量X(k)求出另一个新的解向量X(k+1)向量是由方向和长度确定的，所以X(k+1)=Xk+九Pk(k=1,2,…)k即求解九和Pk，选择九和Pk的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小，即kk/(Xo)>/(X1)>•••>/(Xk)>….检验｛X(k)｝是否收敛与最优解，及对于给定的精度8>0，是否IIVf(Xk+1)||<£。一维搜索法当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。一维搜索的方法很多，常用的有：()试探法“成功一失败”斐波那契法，法等)；()插值法(抛物线插值法，三次插值法等)；()微积分中的求根法(切线法，二分法等)。考虑一维极小化问题minf(t)a0，k二0；()若IIVf(Xk)llv£，则停止计算，X*=Xk，否则P(k)=-Vf(Xk)；()在X(k)处沿方向P(k)做一维搜索得X(k+1)=Xk+九Pk,令k=k+1，返回k第二步，直到求得最优解为止可以求得：Vf(X(k))T.Vf(X(k))Vf(X(k))T•H(X(k))•Vf(X(k))芳(X(k))df(X(k))dx'dx共轭梯度法又称共轭斜量法，仅适用于正定二次函数的极小值问题:1minf(X)二XTAX+BTX+c2<为nxn阶实对称正定阵X,BeEn,c为常数从任意初始点X(1)和向量P(1)=-Vf(X(1))出发，由专业知识分享X(k+1)=Xk+九Pk,九=minf(X(k)+九P(k))=—kk”(Vf(X(k)))TP(k)(P(k))TAP(k)P(k+1)=—Vf(X(k+1))+PP(k),P和kkVf(X(k+1))-A-(P(k))T(P(k))TAP(k)(k=1,2，•…,n—1)可以得到——能够证明向量——是线性无关的，且关于是两两共轭的。从而可得到则为的极小点。计算步骤:()对任意初始点X(1)GEn和向量P⑴二—Yf(X(1)),取k=1；()若vf(X(k))=0，即得到最优解，停止计算，否则求X(k+1)=Xk+九Pk,九=minf(X(k)+九P(k))=—kk”(Vf(X(k)))TP(k)(P(k))TAP(k)P(k+1)=—Vf(X(k+1))+PP(k),PkVf(X(k+1))-A-(P(k))T(P(k))TAP(k)(k=1,2，•…,n—1)()令k=k+1；返回()牛顿法对于问题：minf(X)=1XTAX+BTX+c^2由Vf(X)=AX+B=0,则由最优条件Vf(X)=0,当为正定时，A-1存在，于是有X*=—A-1B为最优解拟牛顿法对于一般的二阶可微函数f(X)，在X(k)点的局部有f(X)沁f(X(k))+Vf(X(k))T(X—X(k))+i(X—X(k))Tv2f(X(k))(X—X(k))2专业知识分享当V2f(X(k))正定时，也可用上面的牛顿法，这就是拟牛顿法。计算步骤：()任取X⑴GEn，k=1；()计算g=Vf(X(k))，若g二0，则停止计算，否则计算H(Xk)=V2f(X(k)),kk令X(k+1)=Xk-(H(Xk))-1gk()令k=k+1；返回()有约束的非线性规划非线性规划的最优性条件若X*是非线...
