联赛导引(二)函数数列数学归纳法整数一,基础知识导引<一>,数列:1,等差数列:(1),定义:.(2),通项公式:.(3),前项和公式:.(4),任意两项有.(5),对于任意正整数,若,则.反之不行.(6),若均是等差数列,则也是等差数列.()2,等比数列:(1),定义:.(2),通项公式:.(3),前项和公式:.(4),任意两项有.(5),对于任意正整数,若,则.(6),无穷递缩等比数列所有项和公式:.3,一些常用递归数列的通项:(1),形如的一阶递归式,其通项求法为.(累加法)(2),形如的递归式,其通项求法为.(累积法)(3),形如的递归式,由及,两式相减得,有是首项为,且公比为的等比数列,先求出,再求出.(4),形如的递归式,两边同时除以,得,令,得,求,再求.(5),形如()的递归式,两边取对数有,令,则,仿(3)得,再求.<二>数学归纳法形式1:(i)验证成立;(ii)假设()成立,那么可推出也成立.形式2:(i)验证;(ii)假设成立,那么可推出也成立.<三>,整数:1,整数的分类:(1),;(2)(3),(4),2,不定方程的常用解法:(1),公式法:若是方程的一组整数解,则该方程的所有解为().(2),数或式的分解法;(3),不等式法;(4),奇偶分析法;(5),换元法.二,解题思想与方法导引1,归纳猜想证明;2,数形结合;3,整体处理;4,换元法;5,配方法;6,估算法.三,习题导引<一>,选择题1,删去正整数数列1,2,3,项是A,2046B,2047C,2048D,20492,已知数列满足且,其前项之和为,则满足不等式的最小整数是A,5B,6C,7D,83,设等差数列满足,且,为其前项之和,则中最大的是A,B,C,D,4,等比数列中,,公比,用表示它的前项之积,则中最大的是A,B,C,D,5,已知数列满足,,记,则下列结论正确的是A,B,C,D,6,给定公比为的等比数列,设,,,,则数列A,是等差数列车员B,是公比为的等比数列C,是公比为的等比数列D,既非等差数列又非等比数列<二>填空题7,设数列满足,,且对任意自然数,都有,又,则的值是.8,各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有项.9,设正数满足,且,则数列的通项.10,将二顶式的展开式按的降幂排,若前三项系数成等差数列,则该展开式中的幂指数是整数的项共有个.11,正整数使得是完全平方数,则的个位数字是.12,已知数列满足关系式，则的值是_________________________。<三>解答题13,求满足的所有质数.14,个正数排成几行几列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知,,,试求的值.15,确定所有的正整数,使方程有正整数解.四,解题导引1,C在数列1,2,3,,2003中,删去了44个()完全平方数,现给该数列再补上44项,得.所补的44个数中还有1个()完全平方数,把它删除,再补上一项2048即可.2,C由递推式变形得:,令,则且-1=8.得是首项为8,公比为的等比数列,于是,得,,所以,得,所以满足这个不等式的最小整数.3,C设等差数列的公差为,由,得,即,所以,则,,最大.4,C由已知,得,知,,为正数,为负数,且,,得最大.5,A由，所以，即是周期为6的数列，得，又+，得。6,C由题设,则.7,200由①②两式相减得:,又,有.,由①得,所以,从而,于是.8,8设是公差为4的等差数列,则,由已知:+.此关于为未知数的一元二次不等式有解,应有,有,得,又,所以的最大值是8,即满足题设的数列至多有8项.9,时,由变形得,令,得,即,得是以为首项,公比为2的等比数列,因此,即,,即,于是.又,因而得结果.10,8易求前三项系数分别是1,,.由这三个数成等差数列,有1+,解得和(舍去).当时,,由,得只能是0,4,8.11,9设,则,得或,解得或,由,知它的个位数字是9;由,知它的个位数字也是9.12,设即故数列是公比为2的等比数列，。。13,解:显然,不妨设.因为为质数,所以与不能全为奇数,故.(1)当为不小于5的质数时,有=由于不是3,也不是3的倍数,而,,是三个连续的自然数,则其中必有一个数是3的倍数,又不是3的倍数,得必为3的倍数,所以是3的倍数,这与是质数矛盾!(2)当时,只有,这时.综上所述,有.14,(分析)设,第一行数的公差为,第一列数的公比为,可得解:设第一行数列公差为,各列数列的公比为,则第四行数列公差是,于是可得解此方程组,得,由于所给个数都是正数,必有,从而有,于是对任意的,有.得,又两式相减后得:所以.15,解:由方程的对称性,不妨设.将方程变形为:①另一方面,由原方程得:②,为正整数,得.于是由②得,即,又代入①式得③(1)当时,由于,由③式得,与为正整数矛盾!(2)当时,得;(i)若,由,得,这时可得,方程的解为.(ii)若,又,由③式得,故只能,原方程变形为:.这时有正整数解.综上所述,的值为1或3.[注]:请反思一下每道题所运用的思想方法.
