(1)(2)专题：圆与相似(1)1.如图，AB是00的直径，弦CD丄AB于H.点G在00上，过点G作直线EF,交CD延长线于点E,交AB的延长线于点F.连接AG交CD于K,且KE=GE.(1)判断直线EF与00的位置关系，并说明理由;AH3(2)若AC〃EF,=-，FB=1，求00的半径.AC52.如图，PB为00的切线，B为切点，直线P0交0于点E，F,过点B作P0的垂线BA,垂足为点D,交00于点A,延长A0与00交于点C,连接BC,AF.求证：直线PA为00的切线；试探究线段EF,0D,0P之间的等量关系，并加以证明；若BC=6,tanZF=,求cosZACB的值和线段PE的长.23.如图所示，AB是00的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD丄AB于点D,CD交AE于点F,过C作CG〃AE交BA的延长线于点G.连接0C交AE于点Ho(1)求证：GC丄0C.(2)求证：AF=CF.(3)若ZEAB=30°,CF=2,求GA的长.4.如图，在△ABC,AB=AC，以AB为直径的00分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的1延长线上，且ZCBF=ZCAB.2(1)求证：直线BF是00的切线；(2)若AB=5,sinZCBF=g，求BC和BF的长.5.如图，00的弦AB=8,直径CD丄AB于M,0M:MD=3：2,E是劣弧CB上一点,连结CE并延长交CE的延长线于点F.求：(1)O0的半径;(2)求CE・CF的值.6.如图，已知在厶ABP中，C是BP边上一点，ZPAC=ZPBA,00是^ABC的外接圆，AD是00的直径，且交BP于点E.(1)求证：PA是00的切线；(2)过点C作CF丄AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG・AB=12,求AC的长；(3)在满足(2)的条件下，若AF：FD=1：2,GF=1，求00的半径及sinZACE的值.7.如图，在厶ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=为BC边上一点，以0为圆心，0B为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E,连接DE.(1)当BD=3时，求线段DE的长；(2)过点E作半圆0的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F.求证：AFAE是等腰三角形.8.如图，在AABC中，ZC=90°,ZABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,0O是ABEF的外接圆.(1)求证：AC是00的切线；(2)过点E作EH丄AB,垂足为H,求证：CD=HF；(3)若CD=1,EH=3，求BF及AF长.F(1)判断DE与00的位置关系，并说明理由;9.如图，BD是00的直径，0A丄OB,M是劣弧上一点，过点M作00的切线MP交0A的延长线于P点，MD与0A交于N点.(1)求证:PM=PN；(2)若BD=4,PA=A0，过点B作BC〃MP交00于C点，求BC的长.10.如图是一个量角器和一个含30。角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆0的直径DE的延长线上，AB切半圆0于点F,且BC=OE.(1)求证：DE〃CF；(2)当0E=2时，若以0,B，F为顶点的三角形与△ABC相似,求0B的长；(3)若0E=2，移动三角板ABC且使AB边始终与半圆0相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离.11.如图，AB、AC分别是00的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE丄AB分别交00于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF.(1)求证：PC是00的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE・DF,为什么(3)在(2)的条件下，若0H=1,AH=2,求弦AC的长.12.如图，在厶ABC中，ZABC=90°,以AB的中点0为圆心、0A为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点，连接DE,0E.EC(2)求证：BC2=CD・2OE；(3)若cosZBAD=,BE=6,求OE的长.专题：圆与相似答1.(1)相切，理由见解析；(2)4.(1)如图，连接OG.VOA=OG,...ZOGAMZOAG.VCD丄AB,・•・ZAKH+ZOAG=90°.%VKE=GE,.•・ZKGE=ZGKE=ZAKH.AZKGE+ZOGA=ZAKH+ZOAG=90°.••・ZOGE=90。，即OG丄EF.又VG在圆O上，.EF与圆O相切.(2)VAC〃EF,.ZF=ZCAH，•RtAAHCsRt^FGO.•/在Rt^OAHAH.CH_OG•A^_OF-3,设AH=3t,贝9AC=5t,CH=4t..CH_《VFB=1・•・—-，解得：OG=4.OG+15•圆O的半径为4.考点：1•等腰三角形的性质；2•切线的判定；3•相似三角形的判定与性质.3102.（1）证明见解析；（2）EF2=4OD・OP,证明见解析；（3）,—•53【解析】试题解析：（1）如图，连接OB,VPB是0O的切线，・ZPBO=90°•VOA=OB,BA丄PO于D,・・AD=BD,ZPOA=ZPOB.又VPO=PO,・APAO9APBO（SAS）••ZPAO=ZPBO=90°.・•・直线PA为0O的切线.OAAZOAD=ZOPA.・••△OADs^OPA..IOPOD切,即OA2=OD・OP.OA又VEF=2OA,・•・EF2=4OD・OP.(3)VOA=OC,AD=BD,BC=6,・*.OD^-BC=32(三角形中位线定理).设AD=x,・・‘AD1・.tanZF==,..FD=2x,OA=OF=2x-3.FD2在Rt^AOD中，由勾股定理，得(2x-3)2=X2+32,解得，x1=4,x2=0(不合题意,舍去)..•・A...
