不等式恒成立八种解法VIP专享VIP免费

不等式恒成立的八种解法探析不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点.考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口.这里对这一类问题的求解策略作一些探讨.1最值法例1■已知函数子3=十酬-c（x＞O）^x=l处取得极值-3—s其中亜恥为常数•（I）试确定2方的值；〔II）讨论函数几力的单调区间；（IID若对于任意兀＞0,不等式恒成立，求亡的取值范围.分析：不等式/（x）＞—2/恒成立,可以■转化为＞-1c1解：订）琲.过程略〉a=l2:b=-3.（II）工过程略）塑数的里调减区间为（叮1函数的单调増区间为〔匕+列■（IID由（ID可知）函数子（X）在x=1处取得极于值/（I）=-3-s此极小值也是最乎值.要使f（X）3亠1恒成立龟只需-3—泾-2,解得亞三或^＜-1.3所以皿的取值范围^（-x-l]w[-:+x）.评注：最值法是我们这里最常用的方法■/（x）＞e恒成立O（x）＞^;恒成立疋.高中斂宇解题讶究丢％却期632分离参数法例已知函数/(x)=h2(l+x)-—-U)求函数和咒)的单调区间；an若不等式对于任意”亡斗〜都成立K茸中戌是自然对数的底数n求垃的最大值.分析：对于XII)不等式(1十-)^a<0中只有指数含有故可以将函数进行分离考虑.解：⑴•(过程略汇函数子㈤的里调増区间^(-LO)i：的里调减区间(0:-Ho)(ID不等式(l+-)^b知用nn(殺+d)血(1十丄)幻04玉一—◎谡貞兀)=Xe(0:1]>.则Nin(l+-)试1+力兀n_1J__(l+x)ki'2(l+x)-x2sX(l+x)ln2(l4-x)+JT1x:(l+x)ln2{1+x/C.'鬲申毀宇孵翹讲究主H妙冲刃立由:⑴:知，h'a+x)-—<0,.即(1十力扭1(1十©—*艺Oj于是，gr(x))在区间(0山上为减函数.故飢X)在(0:11±的最小值为g(l)=—-1.m2所以厲的最大11为丄;-1.h2秤岂不等式恒成立问题知常常先将所求蜃数从不等式中分离出来，即：使墨數和主元分别位于不等式的左右两边，無后再巧妙构苣函数，最后化归芮最值法求解.3数形结合法例3.已知当xs(L2J时，不竽式(x-1)2U即1S即.故所求的盘的取值范围为(1J1.•评注：洒闿暮式两边巧妙构奁囲数犬数形结合；直观形象殳是解决不等式就立问题的一种快捷方法•4变更主元法例斗.対于满足不等式的一切冥数S函数y=P—哥£+(斗—2叭的值恒犬干0,则实数工的取值范围是•分析？若审题不清試按习帳区蓝再主元，则求解将非常烦锁.应该注青到黃函数值大于0对—走取值范围的谨恒成立』则谁就是主元.解.汽殳"0=0—2山+&—牡I)2E[-1=+乩则原问题转优为0恒成立的冋题■故应核有所以实数x的取值范围罡(一叩)2(3十功.诉红：在某些特定的棗件N若能变更王云轄擬思老问题的殳度J碑尽以聽童諮蛊毘算而号可阻轻松韶决耐立问题■7冋齐J5特殊化法例5-设叫是常数，且弧=尹1—加心<"e.V).⑴证明：对于任意心,4=負站+｛—1严-2乌+(-1产2"%(ID假设对于任意让1丙心“小求勺的取营范葺分析：常规电跻由已知的通推关系式求出通项公式，再根拐对于任意21有冷以泊求出兔的取值范围，思路很自照但计算量大.可以用特味值探路，确定目标，再作相应的证明.解：⑴递推式可以化归为芥-*笋+$影-卜+[(冷m所以数列｛器―*｝是等比数列，可以■求得对于任意川>1,an=1[3"+(—1)小-F]+(—1严-严仇.<-■：高巾魏字瞬题硏蜀左方勺444沥弓a-,=l—3a>0对于任意处i有臥皿"取“埠就有i£.解得£1：—农1=白口)>0“角V：下面只婪证明当*他<£时，就有对任意»e炉有J-%】沁宙通项公式得—%)=2-广1+沁_1产1+(-ir-15-2^-O0当池=2疋一12-31+3-2曲一5-2曲=0当n=2kUe.VH寸，5...