【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若a,bGR，则a2+b2>2ab（2）若a,bGR，则ab
2Jab3、基本不等式的两个重要变形（1）若a,bGR*，则旦>、药2（2）若a,bGR*，则必0，则x+1>2x（2）若x<0，则x+1<-2x（3）若ab>0，则a+L>2ba（当且仅当x=1时取“二”（当且仅当x=-1时取（当且仅当a=b时取“二”（4）若a,bGR，贝Uab<（凹）2(ac+bd)2(2)右a,a,a,b,b,bGR，则有:123123(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)>(ab+ab+ab)21231123112233(3)设a,a，…,a与，b，…,b是两组实数，则有12n12n(a2+a2a2)b2+b2HFb2)>(ab+abdFab)212n12n1122nn【题型归纳】题型一:利用基本不等式证明不等式题目1、设a,b均为正数，证明不等式:后b三吕+—ab题目2、已知a，b,c为两两不相等的实数，求证:a2+b2+c2〉ab+bc+ca题目3、已矢口a+b+c=1，求证:a2+b2+c2>3题目4、已知a,b,cGR+，且a+b+c=1，求证:(1-a)(1-b)(1-c)>8abc题目5、已知a,b,cGR+，且a+b+c二1,求证:f--1¥--1¥1-1\>8\a八b八c丿题目6、（新课标II卷数学（理）设a,b,c均为正数，且a+b+c二1，证明:(I)ab+be+ca<-；3(II)聖+冬+匸>1bca题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域⑴y-3x2+12x2(2)y-x(4-x)(3)y-x+丄(x>0)x(4)y-x+丄(x<0)x题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知x>2，求函数y=2x-4+吕的最小值;变式1：已知x>2，求函数y=2x+嘉的最小值;变式2:已知x<2，求函数y=2x+吕的最大值;变式3：已知x<2，求函数y=2x+去的最大值;练习：1、已知x>5，求函数=4x_2+1的最小值;4y_X4x-5题目2、已知x<5，求函数_42+丄的最大值;4y—4x—2十4x—5题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1、当时，求y—x（8一2x）的最大值;变式1：当0^<4时，求y二4x(8-2x)的最大值;变式2：设0。,a+2b二1，求t=!+b的最小值;变式】：已知a，b〉0,a+2b二2，求t=b+b的最小值;变式2：已知x,y>0,2+8二1，求xy的最小值;xy变式3：已知x,y>0,且1+L=9,求x+y的最小值。xy变式4：已知x,y>0，且1+-二4，求x+y的最小值;xy变式5：（1）若x,y>0且2x+y二1，求1+丄的最小值;xy（2）若a,b,x,yGR+且a+b=］，求x+y的最小值；xy变式6:已知正项等比数列匕｝满足：a二a+2a，若存在两项a,a，使得n765mn丁=4a，求丄+4的最小值；'mn1mn变式7:若正数x,y满足x+3y=5,则3x+4y的最小值是（）C.5D.6变式8：设a>0,b>0.若<3是3a与3b的等比中项，则-+-的最小值为（）•abA.丄B.1C.4D.84变式9:已知a>b>0，且a+b二2,则2…+-^的最小值为a+3ba-b变式10：已知ovx<1，a>0，b>0，求y二聖+工的最小值.x1一x变式门：求命+去（00,则当a=时,丄+Lol取得最小值.2lalb变式15：设a>0,b>1满足a+b二2，则旦+1的最小值为.b-1a变式16：已知a,bGR+且2a+b二1,则丄+4的最小值是a2b2题型六:分离换元法求最值（了解）题目1、求函数y二X2+7X+10（x一1）的值域;X+1变式：求函数y二1（x>1）的值域;X一1题目2、求函数y二X12的最大值;2X+5变式：求函数y=X!1的最大值;4X+9题型七：基本不等式的综合应用题目1、已知loga+logb>1，求3a+9b的最小值22题目2、已知a,b>0，求1+1+2、.亦的最小值;ab变式1:（2010四川）如果a>b>0,求关于a,b的表达式a2+丄+1的最小aba（a一b）值；变式2:（2012湖北武汉诊断）已知，当a>0...
