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数学预备知识矢量分析�高等数学是掌握电磁理论所必需的知识；�本章中将介绍本课程所需的重要高等数学知识，不注重其严格推导和体系完整性，侧重于应用；�希望大家课后复习有关数学知识。一、物理量的分类1、标量：只有大小，没有方向的物理量。例如温度、能量等。2、矢量：有大小又有方向的物理量。例如速度、力等。3、张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量。例如张力。本课程只考虑标量场与矢量场，张量场不做讨论；本章节的出发点是为后续《电磁场》课程教学服务，侧重阐述基本概念和基本规律，故不追求数学上的严格性。什么是场？具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如：1、温度场T=T(x,y,z)，温度场为标量场。2、流速场，有三个方向分量，是矢量场：注意：场的本质是点的函数。zzyyxxez)y,(x,Vez)y,(x,Vez)y,(x,Vz)y,(x,VVvvvvv++==yx标量场（Φ）和矢量场（A）以浓度表示的标量场Φ以箭头表示的矢量场Ayx标量场的梯度概念问题的提出：若考查空间某一区域各处的温度，以T(x,y,z)或者以T(P)表示域中某点P处的温度，那么我们就说，在域中构成了一个温度场T。我们关心两个问题，第一、域中处处的温度大小；第二、对于域中某点P，我们关心在这点温度沿哪个方向上最大？对于第一个问题，用温度计逐点测量，能够确定域中各处的温度；对于第二个问题，以P点为球心，以△l（设△l=10-3m）为半径做一球面，测量出球面所选各点温度，假设其中变化幅度最大值就在上述所列之中，那么各点温度及其变化△Ti=T(Pi)-T(P)分别为-0.002、-0.004…如下表所示：结论：温度沿P5方向变化最大，如图17。由此，我们将引出梯度的概念。1.标量场的方向导数与梯度标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。Δ0()()limΔlPPPllΦΦΦ→′∂−=∂标量场Φ在P点沿l方向上的方向导数定义为Pl∂∂ΦPllΔP′Φ梯度是一个矢量。zyxzy∂∂+∂∂+∂∂=ΦΦΦΦeeexgrad在直角坐标系中，标量场Φ的梯度可表示为式中grad是英文字gradient的缩写。某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。zyxzyx∂∂+∂∂+∂∂=∇eee若引入算符∇，在直角坐标系中该算符∇可表示为ΦΦ∇=grad则梯度可以表示为zxyrOP(x,y,z)r'r–r'P'(x',y',z')例计算及。⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇R1⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇′R1表示对x,y,z运算表示对运算zyx′′′,,∇∇′0R′=−≠rr这里ϕϕ∇≠∇注意：注意：既具有矢量性质，既具有矢量性质，又具有微分性质又具有微分性质zyxzyxeeer++=zyxzyxeeer′+′+′=′解zyxzzyyxxeeeR)()()(′−+′−+′−=222)()()(zzyyxxR′−+′−+′−=zyxzyx∂∂+∂∂+∂∂=∇eeezyxzyx′∂∂+′∂∂+′∂∂=∇′eee31RRR−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇′−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇RR1131RRR=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∇′表示源点，P表示场点。P′zxyrOP(x,y,z)r'r–r'P'(x',y',z')()()xxRxxRRxRRRx′−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−×⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∂∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂3221221111矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A通过该有向曲面S的通量，以标量Ψ表示，即2.矢量场的通量与散度∫⋅=SdSAΨ通量可为正、负、或零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。∫⋅=SdSA前述的源称为正源，而洞称为负源。ΨS已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量q与真空介电常数ε0之比，即，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。∫=⋅Sq0dεSE㊉㊀但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即VSV...