分类讨论思想教师版VIP免费

分类讨论专项训练分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学策略．分类原则：(1)所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3)对多级讨论，应逐级进行，不能越级．引起分类讨论的常见因素：(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、对数与指数函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程(不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取值不同会导致所得结果不同等．(4)由图形的不确定性引起的分类：有的图形的形状、位置关系需讨论，如二次函数图象的开口方向，点、线、面的位置关系，曲线系方程中的参数与曲线类型等．简化和避免分类讨论的优化策略：(1)直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等有时可以避开繁琐讨论；(2)变更主元．如分离参数、变参置换等可避开讨论；(3)合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称、轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；(4)数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．注：能回避分类讨论的尽可能回避．1.函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数a的取值范围是________．0≤a≤1解析：由题知ax2－a(a＋1)x＋(a＋1)≥0对x∈R恒成立，分a＝0和a＞0两种情况讨论．2.(2014·上海卷)已知f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为____________．答案：[0，2]解析：由于当x>0时，f(x)＝x＋＋a在x＝1时取得最小值2＋a，由题意当x≤0时，f(x)＝(x－a)2应该是递减的，则a≥0，此时最小值为f(0)＝a2，因此a2≤a＋2，解得0≤a≤2.3.(2014·浙江卷)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是____________．答案：(－∞，]解析：或者得－2≤f(a)<0或者4.若loga<1，则实数a的取值范围为________．答案：0＜a＜或a＞1解析：分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论．5.函数f(x)＝x2－2ax＋1在区间[－1，1]上的最小值记为g(a)，则g(a)=________答案：g(a)＝6.在△ABC中，已知sinB＝，a＝6，b＝8，则边c＝_______．解：sinB＝，a＜b，若B为锐角，则cosB＝，由余弦定理得b2＝c2＋36－2×6×c×cosB＝64，即c2－3c－28＝0，∴c＝7；若B为钝角，则cosB＝－，由余弦定理得b2＝c2＋36－2×6×c×cosB＝64，即c2＋3c－28＝0，∴c＝4，故边c的长为7或4.7.(2014·四川卷)已知函数f(x)＝sin.若α是第二象限角，f＝coscos2α，则cosα－sinα＝________．答案：－或－解析：因为f＝coscos2α，所以sin＝coscos2α.所以sinα＋cosα＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)2.所以(sinα＋cosα)＝0.因为α是第二象限角，所以，当α＝2kπ＋π，k∈Z，sinα＋cosα＝0，此时sinα＝，cosα＝－，则cosα－sinα＝－；当α≠2kπ＋π，k∈Z时，sinα＋cosα≠0，此时(cosα－sinα)2＝.因为cosα