概率论第一、二、三章习题课VIP免费

•计算机科学学院•裘国永第一、二、三章习题课1.2设A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：（1）A发生，B与C都不发生。（2）A与B都发生，而C不发生。（3）A，B，C中至少有一个发生。（4）A，B，C都发生。（5）A，B，C都不发生。（6）A，B，C中不多于一个发生。（7）A，B，C中不多于两个发生。（8）A，B，C中至少有两个发生。解：（1）A发生，B与C不发生。表示为：CBA或A-(AB∪AC)或A-(B∪C)（2）A，B都发生，而C不发生。表示为：CAB或AB-ABC或AB-C（3）A，B，C中至少有一个发生。表示为：A∪B∪C（4）A，B，C都发生。表示为：ABC（5）A，B，C都不发生，表示为：CBA或S-(A∪B∪C)或CBA（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生，相当于CA,CB,BA中至少有一个发生。故表示为：CACBBA。（7）A，B，C中不多于二个发生。相当于：C,B,A中至少有一个发生。故表示为：ABCCBA或（8）A，B，C中至少有二个发生。相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB∪BC∪AC解：（1）ABC（2）ABC（3）A∪B∪C（4）ABC（5）ABC（6）ABC∪ABC∪ABC∪ABC（7）S-ABC（8）ABC∪ABC∪ABC∪ABC1.3（1）设A，B，C为三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8，求A，B，C至少有一个发生的概率。（2）已知P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/5，P(AB)=1/10，P(AC)=1/15，P(BC)=1/20，P(ABC)=1/30，求A∪B，AB，A∪B∪C，ABC，ABC，AB∪C的概率。（3）已知P(A)=1/2，（i）若A，B互不相容，求P(AB)，（ii）若P(AB)=1/8，求P(AB)。解：（1）因为P(AB)=0，所以P(ABC)=0。故P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。（2）P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,P(AB)=1-P(A∪B)=4/15,P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/60，P(ABC)=1-P(A∪B∪C)=3/20,P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=7/60，P(AB∪C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=4/15+1/5-7/60=7/20。（3）（i）因为A，B互不相容，所以AB=Φ，P(AB)=0。故P(AB)=P(A)-P(AB)=1/2。（ii）P(AB)=P(A)-P(AB)=1/2-1/8=3/8。1.4设A，B为两个事件。（1）已知AB=AB，验证A=B。（2）验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB)。证明：（1）A=A(B∪B)=AB∪AB=AB∪AB=(A∪A)B=B。（2）因为ABAB=Φ，所以P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)-P(ABAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(A)。1.510片药片中有5片是安慰剂。（1）从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率。（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。解：（1）p=1-51055CC5104515CCC。（2）p=31035AA。1.8在1500件产品中有400件次品、1100件正品。任取200件。（1）求恰有90件次品的概率。（2）求至少有2件次品的概率。解：（1）恰有90件次品的概率p=0021500904001101100CCC。（2）至少有2件次品的概率p=1-00215002001100CC-002150014001991100CCC。1.11将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解：杯子中球的最大个数为1的概率p=3344A。杯子中球的最大个数为2的概率p=1-3144A-3344A。杯子中球的最大个数为3的概率p=3144A。1.14（1）已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(AB)=0.5，求条件概率P(B|A∪B)。（2）已知P(A)=1/4，P(B|A)=1/3，P(A|B)=1/2，求P(A∪B)。解：（1）因为P(B|A∪B)=P(B(A∪B))/P(A∪B),P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1-P(A)+1-P(B)-0.5=0.8,P(B(A∪B))=P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.5=0.2,所以P(B|A∪B)=0.25｡（2）因为P(B|A)=P(AB)/P(A),所以P(AB)=1/12｡又因为P(A|B)=P(AB)/P(B),所以P(B)=1/6｡故P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3｡1.17已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。求下列事件的概率。（1）两件都是正品。（2）两件都是次品。（3）一件是正品，一件是次品。（4）第二次取出的是次品。解：设事件A为“第一件是正品”，事件B为“第二件是正品”，则（1）两件都是正品的概率P(AB)=21028CC。（或=P(A)P(B|A)=54×97）（2）两件都是次品的概率P(AB)=21022CC。（...