第7章第2节(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)[来源:Z+xx+k.Com]1．(·山东潍坊)如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是()A．2πB．3πC．6πD．9π解析：由三视图可知，该几何体是一个由底面半径为2高为3的圆柱中间挖去一个底面半径为1的等高圆柱后余下的部分，所以，其体积为π×(22－12)×3＝9π.答案：D2．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧(左)视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于()A.B.C.D.解析：由题中的三视图可知，该几何体是一个四棱锥，所以其体积为V＝Sh＝××2＝.答案：A3．(·深圳模拟)如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于()A．15πB．18πC．21πD．24π解析：由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相应几何体的面积计算公式得，该组合体的表面积为：S＝πr2＋2πrh＋πrl＝π()2＋2π×()×2＋π×()×2＝21π.答案：C[来源:学科网]4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A．4B．6C．8D．12解析：由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S—ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，∴V＝SA×(AB＋CD)×AD＝×2×(2＋4)×2＝4.答案：A5．(·辽宁锦州期末)如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A．27B．30C．33D．36解析：由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱长为3，正四棱锥高为1，底面正方形边长为3，∴V＝V柱＋V锥＝33＋×9×1＝30.答案：B6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.πcm3B．3πcm3C.πcm3D.πcm3解析：由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球，所以其体积为V＝πr2h－πr3＝3π－π＝π(cm3)．答案：D二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥P－ABCD的表面积为________．解析：由三视图可得，三角形ABP的面积等于三角形ADP的面积且为a2，三角形BPC的面积等于三角形CDP的面积且为a2，正方形ABCD的面积为a2，所以可得四棱锥P－ABCD的表面积为(2＋)a2.答案：(2＋)a28．(·湖北高考)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.解析：设球的半径为rcm，则底面圆的半径为rcm，从而有8πr2＋3×πr3＝6r·πr2，由此解得r＝4.答案：49．(·南京模拟)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13cm.答案：13三、解答题(共3个小题，满分35分)10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正(主)视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧(左)视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥．(1)V＝×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝＝4，另两个侧面PAB、PCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝＝5，因此S＝2(×6×4＋×8×5)＝40＋24.11．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．解：过PA与球心O作截面PAE与平面PCB交于PE，与平面ABC交于AE，因△ABC是正三角形，易知AE即是△ABC中BC边上的高，又是BC边上的中线，作为正三棱锥的高PD通过球心，且D是三角形△ABC的重心，据此根据底面边长为2，即可算出DE＝AE＝××2＝，PE＝＝，由△POF∽△PED，知＝，∴＝，r＝－2.∴S表＝S侧＋S底＝3××2×＋×(2...
