第四章 常用概率分布VIP专享VIP免费

第四章常用概率分布第四章常用概率分布二项分布二项分布二项分布的概念与特征一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球，3个白球，我们进行摸球游戏，每一次摸到黄球的概率是0.4，摸到白球的概率是0.6，这个实验有三个特点：一是各次摸球是彼此独立的；二是每次摸球只有二种可能的结果，或黄球或白球；三是每次摸到黄球（或摸到白球）的概率是固定的。具备这三点，n次中有X次摸到黄球（或白球）的概率分布就是二项分布。二项分布二项分布例4-1用针灸治疗头痛，假定结果不是有效就是无效，每一例有效的概率为π，。某医生用此方法治疗头痛患者5例，3例有效的概率是多少？因为每例有效的概率相同，且各例的治疗结果彼此独立，5例患者中可以是其中的任意3例有效二项分布二项分布医学研究中很多现象观察结果是以两分类变量来表示的，如阳性与阴性、治愈与未愈、生存与死亡等等。如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生概率均为（1－）；而且各个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n个人，发生阳性结果的次人数X的概率分布为二项分布，记作B（X；n，π）。二项分布二项分布•二项分布的概率函数P(X)可用公式（4-1）来计算。XnXXnCXP)1()(XnXXnCXP)1()()!(!!XnXnCXn)!(!!XnXnCXn二项分布二项分布例4-2临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该法治疗3例，其中两例有效的概率是多大？432.0)6.01(6.0)23(223C二项分布二项分布表4-1治疗3例可能的有效例数及其概率XC3有效人数(x)x(1－)n-x出现该结果概率P(x)010.60=10.4×0.4×0.40.064130.60.4×0.40.288230.6×0.60.40.432310.6×0.6×0.60.400.216XC3二项分布二项分布由表4-1可知,各种可能结果出现的概率合计为1，即P(X)=1（X=0,1,…,n）。因此,如果欲求1例以上有效的概率可以是P(x≥1)=P(1)+P(2)+P(3)=0.288+0.432+0.216=1－P（0）=1－0.064=0.936也可以是P(x≥1)=1－P(0)=1－0.064=0.936二项分布二项分布二项分布的特征二项分布的图形特征接近0.5时，图形是对称的；图4-1离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。图4-2当n→∞时，只要不太靠近0或1，当nP和n(1－P)都大于5时，二项分布近似于正态分布。二项分布图形取决于与n，高峰=n处二项分布二项分布图4-1π=0.5时,不同n值对应的二项分布n=3,π=0.500.10.20.30.4012345678910111213xP(x)n=10,π=0.500.10.20.30.4012345678910111213xP(x)二项分布二项分布图4-2π=0.3时,不同n值对应的二项分布n=3,π=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)n=6,π=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)n=10,π=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)n=20,π=0.300.10.20.30.40.50123456789101112131415xP(x)二项分布二项分布•二项分布的均数和标准差总体均数：方差：标准差：nn)1(2n)1(2n)1(n)1(n二项分布二项分布•如果将出现阳性结果的频率记为•总体均数：•标准差：nXpnXpppnp)1(np)1(二项分布二项分布•例4-4研究者随机抽查某地150人，其中有10人感染了钩虫，钩虫感染率为6.7%，求此率的抽样误差。nppnppSp)1(1)1(nppnppSp)1(1)1(%0.2020.0150)067.01(067.0pS%0.2020.0150)067.01(067.0pS二项分布二项分布二项分布的应用（一）概率估计例4-5如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有10人感染钩虫的概率有多大？从n=150，π=0.13的二项分布，由公式（4-1）和（4-2）二项分布二项分布•可以得出150人中有10人感染钩虫的概率为0055.087.013.0)!10150(!10!150)10(14010XP0055.087.013.0)!10150(!10!150)10(14010XP二项分布二项分布•单侧累积概率计算二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为出现阳性的次数至少为k次的概率为kXkXXnXXnXnXPkXP00)1()!(!!)()(kXkXXnXXnXnXPkXP00)1()!(!!)()(nkXnkXXnXXnXnXPkXP)1()!(!!)(...