2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(全国卷Ⅱ)一、解答题(本大题共1题,共计12分)1、(12分)解:(1)由题设知,l的方程为y=x+2.代入C的方程,并化简,得(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0,设B(x1,y1)、D(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,①由M(1,3)为BD的中点知=1,故×=1,即b2=3a2,②故c==2a,所以C的离心率e==2.(2)由①②知,C的方程为3x2-y2=3a2,A(a,0),F(2a,0),x1+x2=2,x1·x2=-<0,故不妨设x1≤-a,x2≥a.|BF|===a-2x1,|FD|===2x2-a.|BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a)=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8.又|BF|·|FD|=17,故5a2+4a+8=17,解得a=1或a=-(舍去).故|BD|=|x1-x2|=·=6.连结MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,从而MA=MB=MD,且MA⊥x轴,因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切.所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.二、选择题(本大题共12题,共计60分)1、(5分)C U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},∴(A∪B)={2,4}.2、(5分)A原不等式等价于(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3.3、(5分)Bcos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=-(1-2×)=-.4、(5分)D由y=1+ln(x-1)得ln(x-1)=y-1,∴x-1=ey-1.∴x=ey-1+1.∴y=ex-1+1.又 y=1+ln(x-1)(x>1)的值域为R,∴y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是y=ex-1+1(x∈R).5、(5分)C约束条件所对应的可行域如图.由z=2x+y得y=-2x+z.由图可知,当直线y=-2x+z经过点A时,z最大.由,得,则A(1,1).∴zmax=2×1+1=3.6、(5分)C {an}为等差数列,a3+a4+a5=12,∴a4=4.∴a1+a2+…+a7==7a4=28.7、(5分)A y′=2x+a,∴k=y′|x=0=a=1,将(0,b)代入切线:0-b+1=0,∴b=1,∴a=1,b=1.8、(5分)D法一:(几何法)如图,取BC中点D,连结AD、SD.由SA⊥面ABC,得SA⊥BC.D为BC中点,得AD⊥BC.∴BC⊥面SAD.过A作AE⊥SD,交SD于E.又BC⊥AE,AE∩SE=E,∴AE⊥面SBC.∴∠ABE为AB与平面SBC所成的角.在△SAD中,SA=3,AD=,SD==2,SA·AD=SD·AE,解得AE=.∴sin∠ABE===.法二:(向量法)以A为原点,分别以AB、AS所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz,易知S(0,0,3),B(2,0,0),C(1,,0).设平面SBC的法向量为n=(x,y,z).则,得n=(3,,2),又=(2,0,0),∴当α为AB与平面SBC所成的角时,sinα=|cos〈,n〉|===9、(5分)B将标号为1、2的卡片放入一个信封,有=3(种),将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中,有=6(种),共有·=3×6=18(种).10、(5分)B法一:(直接法) CD平分∠ACB,∴==∴=2==(-)=(a-b).∴=+=b+(a-b)=a+b.法二:(排除法)由角平分线的性质知λ=a+b=a+b.故=a+b.系数之比为2∶1,只有B项符合.11、(5分)D经验证线段B1D上的点B,D,中点,四等分点均满足题意,故由排除法知应有无数个点.12、(5分)B如图,过A、B分别作准线l的垂线,垂足分别为A1,B1,过B作BM⊥AA1于M.由椭圆的第二定义得:=e,=e,∴|BB1|=,|AA1|=.又 =3,∴=3,∴|AA1|=,∴|AM|=|AA1|-|MA1|=|AA1|-|BB1|=,而|AB|=|AF|+|FB|=4|FB|,在Rt△BAM中,cos∠BAM====,∴sin∠BAM=,∴k=tan∠BAM=.三、填空题(本大题共4题,共计20分)1、(5分)-解析:由=1+tan2α得=1+=.∴cos2α=. α是第二象限的角,∴cosα<0.∴cosα=-.2、(5分)84解析:(x+)9的展开式的通项为Tr+1=x9-r()r=x9-2r,当r=3时,T3+1=x9-6=x3=84x3,∴x3的系数为84.3、(5分)2解析:l:x=-,过M(1,0)且斜率为的直线为y=(x-1),联立得解得∴A(-,-(+1)).又 =,∴M点为AB的中点.∴B点坐标为(+2,(+1)).将B(+2,(+1))代入y2=2px(p>0),得3(+1)2=2p(+2),解得p=2或p=-6(舍).4、(5分)3解析: |OM|=|ON|=3,∴圆M与圆N的半径相等,且为=.取AB中点C,连结MC、NC,则MC⊥AB,NC⊥AB,|MC|=|NC|==,易知OM、CN共面且OM⊥MC,ON⊥NC,|OC|==2,sin∠OCM==,∴|MN|=2|MC|·sin∠OCM=2×=3.四、解答题(本大题共5题,共计58分)1、(10分)解:由cos∠ADC=>0知B...