2010年普通高等学校夏季招生考试数学文史类(全国卷Ⅱ)一、解答题(本大题共1题,共计12分)1、(12分)解：(1)由题设知，l的方程为y＝x＋2.代入C的方程，并化简，得(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0，设B(x1，y1)、D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，①由M(1,3)为BD的中点知＝1，故×＝1，即b2＝3a2，②故c＝＝2a，所以C的离心率e＝＝2.(2)由①②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－＜0，故不妨设x1≤－a，x2≥a.|BF|＝＝＝a－2x1，|FD|＝＝＝2x2－a.|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，解得a＝1或a＝－(舍去)．故|BD|＝|x1－x2|＝·＝6.连结MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，从而MA＝MB＝MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切．所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．二、选择题(本大题共12题,共计60分)1、(5分)C U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴(A∪B)＝{2,4}．2、(5分)A原不等式等价于(x－3)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜3.3、(5分)Bcos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－(1－2×)＝－.4、(5分)D由y＝1＋ln(x－1)得ln(x－1)＝y－1，∴x－1＝ey－1.∴x＝ey－1＋1.∴y＝ex－1＋1.又 y＝1＋ln(x－1)(x＞1)的值域为R，∴y＝1＋ln(x－1)(x＞1)的反函数是y＝ex－1＋1(x∈R)．5、(5分)C约束条件所对应的可行域如图．由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.由图可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z最大．由，得，则A(1,1)．∴zmax＝2×1＋1＝3.6、(5分)C {an}为等差数列，a3＋a4＋a5＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝＝7a4＝28.7、(5分)A y′＝2x＋a，∴k＝y′|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线：0－b＋1＝0，∴b＝1，∴a＝1，b＝1.8、(5分)D法一：(几何法)如图，取BC中点D，连结AD、SD.由SA⊥面ABC，得SA⊥BC.D为BC中点，得AD⊥BC.∴BC⊥面SAD.过A作AE⊥SD，交SD于E.又BC⊥AE，AE∩SE＝E，∴AE⊥面SBC.∴∠ABE为AB与平面SBC所成的角．在△SAD中，SA＝3，AD＝，SD＝＝2，SA·AD＝SD·AE，解得AE＝.∴sin∠ABE＝＝＝.法二：(向量法)以A为原点，分别以AB、AS所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，，0)．设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)．则，得n＝(3，，2)，又＝(2,0,0)，∴当α为AB与平面SBC所成的角时，sinα＝|cos〈，n〉|＝＝＝9、(5分)B将标号为1、2的卡片放入一个信封，有＝3(种)，将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中，有＝6(种)，共有·＝3×6＝18(种)．10、(5分)B法一：(直接法) CD平分∠ACB，∴＝＝∴＝2＝＝(－)＝(a－b)．∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.法二：(排除法)由角平分线的性质知λ＝a＋b＝a＋b.故＝a＋b.系数之比为2∶1，只有B项符合．11、(5分)D经验证线段B1D上的点B，D，中点，四等分点均满足题意，故由排除法知应有无数个点．12、(5分)B如图，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，过B作BM⊥AA1于M.由椭圆的第二定义得：＝e，＝e，∴|BB1|＝，|AA1|＝.又 ＝3，∴＝3，∴|AA1|＝，∴|AM|＝|AA1|－|MA1|＝|AA1|－|BB1|＝，而|AB|＝|AF|＋|FB|＝4|FB|，在Rt△BAM中，cos∠BAM＝＝＝＝，∴sin∠BAM＝，∴k＝tan∠BAM＝.三、填空题(本大题共4题,共计20分)1、(5分)－解析：由＝1＋tan2α得＝1＋＝.∴cos2α＝. α是第二象限的角，∴cosα＜0.∴cosα＝－.2、(5分)84解析：(x＋)9的展开式的通项为Tr＋1＝x9－r()r＝x9－2r，当r＝3时，T3＋1＝x9－6＝x3＝84x3，∴x3的系数为84.3、(5分)2解析：l：x＝－，过M(1,0)且斜率为的直线为y＝(x－1)，联立得解得∴A(－，－(＋1))．又 ＝，∴M点为AB的中点．∴B点坐标为(＋2，(＋1))．将B(＋2，(＋1))代入y2＝2px(p＞0)，得3(＋1)2＝2p(＋2)，解得p＝2或p＝－6(舍)．4、(5分)3解析： |OM|＝|ON|＝3，∴圆M与圆N的半径相等，且为＝.取AB中点C，连结MC、NC，则MC⊥AB，NC⊥AB，|MC|＝|NC|＝＝，易知OM、CN共面且OM⊥MC，ON⊥NC，|OC|＝＝2，sin∠OCM＝＝，∴|MN|＝2|MC|·sin∠OCM＝2×＝3.四、解答题(本大题共5题,共计58分)1、(10分)解：由cos∠ADC＝＞0知B...
