成绩中国矿业大学06级硕士研究生课程考试试卷考试科目矩阵论考试时间2007年01月研究生姓名所在院系学号任课教师中国矿业大学研究生培养管理科印制※1※一（10分）设nV是实的n维线性空间，T是nV上的线性变换，任取nV，若)(1nT，)(nT，（1）证明)(,),(,1nTT为nV的一个基；（2）求T在上面基下的表示矩阵。解：（1）由于线性空间是n维的，只需证明)(,),(,1nTT这n个向量线性无关。设)()()(1110RkTkTkkinn上式两边作用1nT)()()()(10)1(21110nnnnnTkTkTkTk00k再由)()(111nnTkTk两边作用2nT01k类似012nkk。这说明)(,),(,1nTT线性无关。（2）由于)(0)(0)(10)(12nTTTT)(0)(1)(00)(122nTTTT)(1)(0)(00)(121nnTTTT)(0)(0)(00)(12nnTTTT即0101010)](,),(,[)](,),(,[11nnTTTTT所以，上式右边的矩阵即为所求。※2※二（10分）在3R中),span(L，其中,)1,0,0(,)0,1,1(TT（1）求正交投影矩阵LP；（2）求Tx)3,2,1(在L和L上的正交投影。解：（1）根据P58计算公式100101M，1002MMT，200121)(1MMT20001101121)(1TTLMMMMP（2）在L上的投影：63321xPyL在L上的投影：01121yxz※3※三（20分）设2126617215111A，已知A的特征多项式为)1(2AI，（1）求A的初等因子组；（2）写出A的Jordan标准形J；（3）求可逆矩阵P满足JAPP1解：（1）2126617215111AI行列式因式1)(1D，1)(2D，)1()(23D这是因为1)(1D显然，)1()(23D由已知，而4172111，)23(2266215互素，所以1)(2D不变因子，1)(1d，1)(2d，)1()(23d初等因子组为：1,2（2）Jordan标准为1010J（3）记],,[321P，由PJAP得331210AAA解之得124123111],,[321P※4※四（10分）设nnRA，是nnR上的一个算子范数，如果1A，（1）证明AI可逆（2）AAI11)(1证：（1）[方法一]A的特征值：1)(AAi，AI的特征值：01i从而AI可逆。[方法二]反证。如AI不可逆，则0)(xAI有非零解，从而1AAA（这里向量范数与矩阵范数相容），矛盾。（2）AAIIAIIAIAI111)()()()(AAIAAIIAI111)(1)()(1)1()(1AAI结论。※5※五（20分）对下面微分方程组0)0(ddxxxxAt，502613803A，1110x（1）求A的最小多项式)(Am；（2）求Ate（3）求该方程组的解。解：（1）易求得3)1(AI，易验证2)1()(Am（2）设10)(aarttteareaar110)1()1(ttteaeta10)1(tttttttettteAaIaettAt5026380311110ttttttet41026138041（3）)0()(xetxAttttettttttett619112111141026138041※6※六（20分）对下面矛盾方程组bAx1121434321421xxxxxxxxx（1）求A的满秩分解FGA；（2）计算A；（3）求该方程组的极小范数最小二乘解LSx。解：（1）110021111011A，000011001011rA，101101F，11001011G（2）2113TGG，2112FFTTTTTFFFGGGA11)()(33072541541515111001121123112111001013151（3）6422151bAxLS※7※七（10分）设),,2,1(,kiRbRAminmi，kiiibxAxf122)(（1）求xfdd和)dd(ddxfxT（2）如果nRx0是)(xf的极小值点，证明0x为下面方程组的解kiiTikiiTibAxAA11)(解（1）)()()()(iTiiTiiTiTiTiTiiTiibbxAbbAxxAAxbxAbxAxf)(2ddiTiiTibAxAAxf)dd(ddxfxTiTiAA2（2）如果0x是)(xf的极小值点，则0)(2dd00iTiiTixxbAxAAxfkiiTikiiTibAxAA101)(。或者方程组kkbbxAA11的最小二乘问题为求kiiibxAxf122)(的极小值，而极小值点与法方程组kiiTikiiTibAxAA11)(的解等价。
