解线性方程组的直接方法VIP免费

第2章解线性方程组的直接法考虑一个简单的例。保持人体健康需要多种微量元素，主要通过食物摄取，并且不同的年龄，职业和身体条件要求的量也不同。每千克食品含量菠菜萝卜苹果要求值铁a11a12a13b1锌a21a22a23b2钙a31a32a33b3考虑n元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.........................................................22112222212111212111(2.1)方程组(2.1)的矩阵形式为Ax=bnn2n1nn22221n11211a...aa............a...aaa...aaAn21x...xx,xn21b...bb,b其中若矩阵A非奇异,即det(A)≠0,则方程组(2.1)有唯一解。所谓直接解法是指，若不考虑计算过程中的舍入误差，经过有限次算术运算就能求出线性方程组精确解的方法。但由于实际计算中舍入误差的存在，用直接解法一般也只能求出方程组的近似解。在线性代数中我们学过用Cramer法则求解线性方程组。行列式,而每个n阶行列式按定义D=nnpppnppptaaa...212121...)1(需要计算(n-1)n!次乘法,则Cramer法则至少需要(n2-1)n!次乘法,当n=20时,有(202-1)20!9.7×1020次乘法运算。如果用每秒钟计算1百万次乘除运算的计算机，约需要：÷60÷24÷60÷365≈3000万年Cramer法则求n元线性方程组Ax=b的解,需要计算n+1个n阶9.7×1020÷106可见Cramer法则不是一种实用的直接法，下面介绍几种实用的直接法。§1Gauss消去法Gauss消元法是一种规则化的加减消元法，其基本思想是通过逐次消元计算，把一般线性方程组的求解转化为等价的上三角形方程组的求解。nnaaa2211nnaaa2211nnaaa2211对角上三角下三角§1.1顺序Gauss消去法为了清楚起见,先看一个简单的例子.考虑线性方程组111111单位上三角单位下三角上三角方程组Ax=b:nnaaa2211nbbb21nxxx21可按xn,xn-1,…x1，顺序进行回代求解32241332242321321321xxxxxxxxx消去后两个方程中的x1得16622522423232321xxxxxxx再消去最后一个方程的x2得21,31,61123xxx消元结束,经过回代得解:575422252242332321xxxxxx上述求解的消元过程可用矩阵表示为:(A,b)=322413312242166022502242~1213212rrrr57542560022502242~23rr这是Gauss消去法的矩阵计算形式,新的增广矩阵对应的线性方程组就是上三角形方程组,可进行回代求解。现在介绍求解线性方程组Ax=b的顺序Gauss消去法:记iiijijbbaa)1()1(,,bbA,A(1)(1)则,线性方程组Ax=b的增广矩阵为)1(n)1(nn)1(3n)1(2n)1(1n)1(3)1(n3)1(33)1(32)1(31)1(2)1(n2)1(23)1(22)1(21)1(1)1(n1)1(13)1(12)1(11)1()1(ba...aaa..................ba...aaaba...aaaba...aaa),(bA第一步.设,依次用0)1(11a),...,3,2(,)1(11)1(11niaalii乘矩阵的第1行加到第i行(i=2,3,…n),得到矩阵:)2(n)2(nn)2(3n)2(2n)2(3)2(n3)2(33)2(32)2(2)2(n2)2(23)2(22)1(1)1(n1)1(13)1(12)1(11)2()2(ba...aa0..................ba...aa0ba...aa0ba...aaa),(bA其中njialaajiijij,...,3,2,,)1(11)1()2(niblbbiii,...,3,2,)1(11)1()2(第二步.设,依次用0)2(22a),...,4,3(,)2(22)2(22niaalii乘矩阵(A(2),b(2))的第2行加到第i行,得到矩阵:)3(n)3(nn)3(3n)3(3)3(n3)3(33)2(2)2(n2)2(23)2(22)1(1)1(n1)1(13)1(12)1(11ba...a00..................ba...a00ba...aa0ba...aaa)((3)(3)b,A其中njialaajiijij,...,4,3,,)2(22)2(...