第二节命题及其关系、充分条件与必要条件能够判断的语句叫做命题.命题有与之分.基础梳理1.命题真假真命题假命题(2)四种命题命题表述形式原命题逆命题否命题逆否命题若q则p若﹁p则﹁q若﹁q则﹁p若p则q原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互为逆否互为逆否互逆互逆互否互否（2）四种命题及其关系3.充分条件与必要条件（1）定义：一般地，如果,那么称p是q的，同时称q是p的;如果,且，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的，记作.(2)如果,且，那么称p是q的充分不必要条件；如果，且,那么称p是q的必要不充分条件；如果，且,那么称p是q的既不充分又不必要条件.(3)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论；其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，,充要条件,.pqpqpqpqqpqppqpqqp充分条件必要条件充要条件pq必要不充分条件既不充分又不必要条件基础达标1.下列说法：①2x+5>0；②是有理数；③如果x＞2，那么x就是有理数；④如果x≠0，那么就有意义.其中命题的个数为.2.（选修2-1P6例1改编）设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1，则原命题为命题,逆命题为命题.(填“真”或“假”)31x3真假1.解析：可以判断真假的陈述句叫做命题．由定义知②③④为命题．2.解析：因为原命题的逆否命题为：若a，b都小于1，则a+b＜2，显然为真，所以原命题为真；原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，是假命题，反例为a=1.2，b=0.3.3.(2010·陕西改编)“a＞0”是“|a|＞0”的条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”）4.命题“若x=1或x=6,则(x-1)(x-6)=0”的逆否命题是.5.若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为_________.3.解析： a＞0|⇒a|＞0，|a|＞0a＞0，“∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件．¿4.解析：首先根据命题“若p则q”的逆否命题为“若非q则非p”，再根据命题“p或q”的否定是“非p且非q”，可得所求的逆否命题为：若(x-1)(x-6)≠0，则x≠1且x≠6.充分不必要若(x-1)(x-6)≠0,则x≠1且x≠6－15.解析：由x2＞1得x＞1或x＜-1，又x＜a⇒x2＞1，∴x＜a⇒x＜-1，∴a≤-1，∴amax=-1.经典例题题型一命题概念及其真假的判断例1判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.（1）大角所对的边大于小角所对的边；（2）x+y是有理数，则x,y也都是有理数；（3）求证：xR,∈方程x2+x+1=0无实数根.解分析依据命题、真命题、假命题的定义来判定.(1)是假命题，没有考虑到必须在同一个三角形中.(2)是假命题，若x=,y=,则x+y=0是有理数，x,y是无理数.(3)为祈使句，不是命题.22变式1-1判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假并说明理由.（1）x2+4x+4≥0;（2）你是高一的学生吗？（3）一个正数不是素数就是合数;（4）若xR,∈则x2+4x+7＞0.解析:(1)是真命题，x2+4x+4=(x+2)2≥0恒成立.(2)是疑问句，不是命题.(3)是假命题，如正数既不是素数也不是合数.(4)是真命题,x2+4x+7=(x+2)2+3＞0.12题型二四种命题的关系及命题真假的判断分析【例2】写出命题：“若实数x,y满足x2+y2=0，则实数x,y全为零”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.根据四种命题的定义来写，注意否命题与命题的否定的区别.解逆命题为：若实数x，y全为零，则x2+y2=0，是真命题.否命题为：若x2+y2≠0，则实数x,y不全为零，是真命题.逆否命题为：若实数x,y不全为零，则x2+y2≠0，是真命题.变式2-1写出命题“等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式”的逆命题、否命题、逆否命题.解析：方法一：选取“两边同乘一个数”为前提.原命题：若一个式子为等式，则两边乘以同一个数，所得的结果仍是等式；逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式；否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式；逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式.方法二：选取“一个式子为等式”为前提.原命题：一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式；逆命题：一个等式,若两边分别乘以一个数，所得结果仍...
