第一节 数学期望VIP免费

第四章随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望三、数学期望的性质二、随机变量函数的数学期望四、小结第一节数学期望1.离散型随机变量的数学期望定义3.1.)().(,,.,2,1,}{111kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即记为的数学期望的和为随机变量则称级数绝对收敛若级数的分布律为设离散型随机变量一、随机变量的数学期望关于定义的几点说明(1)E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.他们的射击技术分别为乙两个射手甲,,试问哪个射手技术较好?例1谁的技术比较好?乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0解),(3.96.0101.093.08)(1环XE),(1.93.0105.092.08)(2环XE.,,21XX为乙射手击中的环数分别设甲平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中9.1环.因此甲射手的本领要高一些.例2二项分布),,,2,1,0(,)1(}{nkppknkXPknk.10p则有}{)(0kXPkXEnkknknkppknk)1(0设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为knknkppknkkn)1()!(!!0)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(knknkppknknnp1)]1([nppnp)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(knknkppknknnp则两点分布b(1,p)的数学期望为p.=np例3泊松分布.0,,2,1,0,!}{kekkXPk则有0!)(kkekkXE11)!1(kkkeee.且分布律为设),(P~X例4几何分布102111pkpqpqkXPk;,,;,}{则有1111kkkkqkppqkXE)(的分布律为设Xvr.1kkqp)()(1kkqppqpqqp11112)()(2.连续型随机变量数学期望的定义(),()d,()d,().()()d.XfxxfxxxfxxXEXEXxfxx设连续型随机变量的概率密度为若积分绝对收敛则称积分的值为随机变量的数学期望记为即定义3.2设顾客在某银行的窗口等待的服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为51,0,()50,0.xexfxx试求顾客等待服务的平均时间?解()()dEXxfxxxexxd5150).(5分钟因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.例5顾客平均等待多长时间?例6均匀分布则有()()dEXxfxxbaxxabd1).(21ba1,,()0,.axbfxba其它其概率密度为设),,(~baUX).(21ba结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.例8指数分布,,0,()0.0,0.xXexfxx设随机变量服从指数分布其概率密度为其中则有()()dEXxfxxxexxd0.1xexexxd00例9正态分布其概率密度为设),,(~2σμNX则有()()dEXxfxxxeσxσμxd21222)(tσμx令,tσμx22()21(),0,.2xμσfxeσxσ.μtteσteμttd2d212222xeσxXEσμxd21)(222)(所以teσtμtd)(2122μ例10设随机变量X服从正是它的数学期望。中的可见),(,2N其密度函数为分布,),(10,0(),0()xxfxxex求E(X)00()()(1)()()11(),().xyEXxedxyxyedyXEEX解：当时，服从指数分布这时例(书）设随机变量X服从柯西分布,其密度函数为求E(X).解:由于此积分不存在因此柯西分布的数学期望不存在.21()()(1)fxxx)1(||2xdxx若X为离散型随机变量，分布律为Y=f(X)为X的函数),,2,1(,}{kpxXPkk则Y的期望为.)())((1kkkpxfXfE1.离散型随机变量函数的数学期望二、随机变量函数的数学期望2.连续型随机变量函...