概率论第七章参数估计2区间估计VIP免费

第三节区间估计譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作，这里是一个很小的正数.一.置信区间与置信度区间估计要求根据样本给出未知参数的范围，并保证真参数以指定的较大概率属于这个范围。定义：设总体含一待估参数对于样本找出两个统计量使得：称区间为的置信区间，为该区间的置信度是一个随机区间；给出该区间含真值的可靠度。可能性。表示该区间不包含真值的区间通常,采用95%的置信度,有时也取99%或90%.，%5即置信度为%.951这时重复抽样100次,则在得到的100个区间中包含真值的有95个左右,不包含真值的有5个左右。例如若具体的计算方法⑴由样本12,,,nXXX寻找一个样本函数12(,,,;)ngXXX，其中只含有一个未知参数θ⑵对于给定的置信水平1，找a,b使得⑶由12(,,,;)nagXXXb解出等价的不等式11(,,)(,,)nnXXXX11[(,,),(,,)]nnXXXX是θ的置信度为1的置信区间。⑵对于给定的置信水平1，找a,b使得12{(,,,;)}1nPagXXXb二、正态总体均值与方差的区间估计nXX,,1设为总体),(~2NX的一个样本设已知方差，202且niiXnX11是的一个无偏点估计，置信度1下，来确定的置信区间],[⑴已知方差，估计均值μ2)1,0(~/0NnX又对于给定的置信度查正态分布表，找出临界值使得：由此可找出无穷多组通常我们取对称使：且区间由上点的定义式,推得，随机区间：查正态分布表找出得：所以μ的置信水平为1-α的置信区间为/2/2[,]XzXznn简记为/2[]Xzn例若取0.05,10.95,1,16n查表得值算得样本均值的观察值20.5x则得到一个置信度为0.95的μ的置信区间)69.5,71.4()49.020.5(/20.0251.96zz，若由一个样本注：μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。上例中同样给定,可以取标准正态分布上α分位点-Z0.04和Z0.01，则也有则μ的置信度为0.95的置信区间为01.001.0z04.004.0z0.050.010.04{}0.95PXzXznn0.010.04[,]XzXznn但对称时的区间长度/22Lzn最短。194页例1：已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120131,115,109,115,115,105,110cm;假设标准差置信度为95%;试求总体均值的置信区间解：已知由样本值算得：查正态分布表得由此得置信区间：例2：从一批零件中随机抽取16个,测得长度（单位:厘米)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11设零件长度求总体均值的置信水平为0.90的置信区间。解：查表得所以的置信水平为0.90的置信区间为即:例3：设总体问需要抽取容量为多大的样本,才能使的置信水平为0.95的置信区间的长度不大于0.49?解:设需要抽取容量为的样本,其样本均值为查表得于是的置信水平为0.95的置信区间为该区间长度要使只要即取⑵方差未知，估计均值μ2nSXt/)1(~nt/2/2{}1/XPttSn所以μ的置信水平为1-α的置信区间为/2/2[,]SSXtXtnn简记为/2[(1)]SXtnn例4：用仪器测量温度,重复测量7次,测得温度分别为:115,120,131,115,109,115,115cm;设温度在置信度为95%时,试求温度的真值所在范围。解：设是温度的真值，是测量值已知由样本值算得：得区间：0.025(6)2.447t查表例5：对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验,测得最大飞行速度(单位:米/秒)为420.3,425.8,423.1,418.7,438.3,434.0,412.3,431.5最大飞行速度服从正态分布.求飞机最大飞行速度422.2,417.2,425.6413.5,441.3,423.0,428.2,根据长期经验,可以认为的期望值的置信水平为0.95的置信区间。解:以表示该飞机的最大飞行速度,则查...