2009女子数学奥林匹克第一天2009年8月13日上午8：00~12：00厦门1．求证：方程abc=2009(a+b+c)只有有限组正整数解(a,b,c).2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在△ABC的外接圆Γ的弧BC（不含点A）内，AE>EC．连接EC并延长至点F，使得∠EAC＝∠CAF，连接BF交圆Γ于点D，连接ED，记△DEF的外心为O．求证：A,C,O三点共线．3．设平面直角坐标系中点集｛P1,P2,⋯,P4n+1｝＝｛(x,y)|x,y为整数,|x|≤n,|y|≤n,xy=0｝，其中n为正整数．求(P1P2)2+(P2P3)2+⋯+(P4nP4n+1)2+(P4n+1P1)2的最小值．4．设平面上有n个点V1,V2,⋯,Vn(n≥4)，任意三点不共线，某些点之间连有线段.把标号分别为1,2,⋯,n的n枚棋子放置在这n个点处，每个点处恰有一枚棋子．现对这n枚棋子进行如下操作：每次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置．若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k的棋子在点Vk处，k=1,2,⋯,n，则称这种连线段的方式为“和谐的”，求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值．ΓODFBCAE2009女子数学奥林匹克第二天2009年8月14日上午8：00~12：00厦门5．设实数,,xyz大于或等于1，求证：222(22)(22)(22)xxyyzz≤2()22xyzxyz．6．如图，圆Γ1，Γ2内切于点S，圆Γ2的弦AB与圆Γ1相切于点C，M是弧AB（不含点S）的中点，过点M作MN⊥AB，垂足为N．记圆Γ1的半径为r，求证：AC·CB＝2r·MN．7．在一个10×10的方格表中有一个由4n个1×1的小方格组成的图形，它既可被n个“”型的图形覆盖，也可被n个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖．求正整数n的最小值．8．设an＝n5－［n5］，求数列a1，a2，⋯，a2009中的最大项和最小项，其中［x］表示不超过实数x的最大整数．
