第2课时数列的性质与递推公式双基达标限时20分钟1．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()．A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]解析∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.答案C2．一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为()．A．6B．－3C．－12D．－6解析由递推关系式可求得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，∴a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.答案D3．已知{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}的通项公式是()．A．an＝2nB．an＝C．an＝D．an＝解析a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，观察得an＝.答案C4．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是________．解析an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.答案－95．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝________.解析由an＋1－an＝ln知a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，…an－an－1＝ln，累加得：an＝2＋lnn.答案2＋lnn6．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求an.解法一(累乘法)由(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0.得(an＋1＋an)(nan＋1－nan＋an＋1)＝0.由于an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.∴＝.∴an＝a1···…·＝1××××…×＝.法二(换元法)由已知得(n＋1)an＋1－nan＝0，设bn＝nan，则bn＋1－bn＝0.∴{bn}是常数列．∴bn＝b1＝1×a1＝1，即nan＝1.∴an＝.1综合提高限时25分钟7．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()．A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2解析经验证B选项合适．答案B8．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2011的值为()．A.B.C.D.解析计算得a2＝，a3＝，a4＝.故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2011＝670×3＋1，所以a2011＝a1＝.答案A9．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.解析∵∴∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.答案210．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第m项的和最大，则m的值是________．解析令an＝－n2＋10n＋11≥0，则n≤11.∴a1>0，a2>0，…，a10>0，a11＝0，∴S10＝S11且为Sn的最大值．答案10或1111．已知函数f(x)＝，构造数列an＝f(n)(n∈N*)，试判断{an}是递增数列还是递减数列．解由已知得an＝＝－，∴an＋1－an＝－－＝<0，∴数列{an}是递减数列．12．(创新拓展)已知数列{an}满足an＝＋＋＋…＋.(1)数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？(2)证明：an≥对一切正整数恒成立．(1)解∵an＝＋＋＋…＋，∴an＋1＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＋＋，∴an＋1－an＝＋－＝－，又n∈N*，∴2n＋1<2n＋2，∴an＋1－an>0.∴数列{an}是递增数列．(2)证明由(1)知数列{an}为递增数列．所以数列{an}的最小项为a1＝，∴an≥a1＝，即an≥对一切正整数恒成立．2
