高二数学选修4-5不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：例1、若是自然数，求证证明：==注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。例2、求证：证明：由（是大于2的自然数）得用心爱心专心115号编辑例3、若a,b,c,dR+，求证：证：记m= a,b,c,dR+∴∴12时，求证：证： n>2∴∴∴n>2时,三、小结：四、练习：1、设为大于1的自然数，求证用心爱心专心115号编辑2、设为自然数，求证五、作业：A组1、对于任何实数，求证：（1）；（2）2、设，求证：（1）；（2）3、证明不等式.4、若都是正数，求证：5、若求证6、如果同号，且均不为0.求证：，并指出等号成立的条件.7、设是互不相等的正数，求证：8、已知三个正数的和是1，求证这三个正数的倒数的和必不小于9.9、若，则.10、设，且求证：11、已知，求证：（1）；（2）.12、设是互不相等的正数，求证：13、已知都是正数，求证：（1）（2）14、已知求证：15、已知求证：16、已知都是正数，且有求证：用心爱心专心115号编辑17、已知都是正数，且，求证：18、设的三条边为求证.19、已知都是正数，设求证：20、设是自然数，利用放缩法证明不等式21、若是大于1的自然数，试证B组22、已知都是正数，且求证：23、设，试用反证法证明不能介于与之间。24、若是自然数，求证链接：放缩法与贝努利不等式在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式里都是正数，可以舍掉，从而得到一个明显成立的不等式.例如，对于任何和任何正整数，由牛顿二项式定理可得舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式：.在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当是正整数的时候成立，而且当是任何大于1的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设，则在或时，，在时，用心爱心专心115号编辑阅读材料：贝努利家族小史在数学发展史上，17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利（Bernoulli）家族（瑞士），这个家族中的三代人中共出现了8位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。其中，又以第一代的雅各布•贝努利（JacobBernoulli，1654.12-1705.8）、约翰•贝努利（JohannBernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔•贝努利（DanialBernoulli，1700.2-1782.3，约翰•贝努利的儿子）最为著名。在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的“贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”、“贝努利级数判别法”，解析几何中的“贝努利双纽线”，概率论中的“贝努利定理”（即“大数定律”的早期形式）、“贝努利数”、“贝努利多项式”等等。特别是，丹尼尔•贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中，取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至少有以下几个方面的主要原因：（1）对数学的真挚热爱。考察贝努利家族的8位数学家，可以发现一个共同的特点：都是从父辈不同意他们研究数学，而要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯。这一过程中，个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。当然，家族的数学传统和学习精神的影响也是不容忽视的重要因素。（2）广泛的学术交流。贝努利家族的成员们，都注重与当时的数学家和科学家进行广泛的学术交流和争辩，以此互相促进和提高。如雅各布•贝努利、约翰•贝努利与他们那个时代的大数学家、微积分的创始人莱布尼茨之间，丹尼尔•贝努利与当时欧洲数...
