异面直线公垂线的寻求策略异面直线公垂线段长的求法很多,能准确作出公垂线为我们求公垂线段长提供了较好的求解方法.下面我们运用空间向量来求作异面直线的公垂线。一、知识链接：1、什么是异面直线的公垂线？以两异面直线同时垂直且相交的直线叫异面直线的公垂线。若AB是两异面直线a、b的公垂线，则AB�·a=0，AB�·b=0。2、若AC�AB�与CD�共线,则AB�=λCD�。二、求解方法：利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组,求出公垂线段的向量，准确找出公垂线在图中的位置，运用向量求出公垂线段的长度。三、典例剖析：例题一：如图,已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，异面直线AC与C1D的公垂线段是MN，试确定M、N分别在AC、C1D上的位置,并求出异面直线AC与C1D的距离。方法一、坐标法:C'A'D'DBACB'MN解：如图建立空间直角坐标系，则：A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），C1（1，1，1）。∴AC�=（1，1，0），C1D=（－1，0，－1），设：AM=xAC�=（x，x，0），C1N=yC1D=（－y，0，－y）。则：MN=AN－AM=AC1＋C1N－AM=（1，1，1）＋（－y，0，－y）－（x，x，0）=（1－x－y，1－x，1－y）。由AC⊥MN，C1D⊥MN得：1－x－y＋1－x=0－（1－x－y）－（1－y）=0，解得：x=2/3，y=2/3。即：MN=（－1/2，1/3，1/3），∴∣MN=√33∣∕，因此，M、N分别分AC�、C1D所成的比为2：1，异面直线的距离为√33∕。方法二、基向量法：解：如上图：将AB�、AD、AA1作为空间向量的基向量,不妨设AB�=a，AD=b，AA1=c。不妨设AM=λAC，C1N=μC1D，则：MN=MC+CC1+C1N=（1－λ）（a+b）＋c－μ（a＋c）由MN·AC�=0，MN·C1D=0得：（a＋b）·｛（1－μ－λ）a＋（1－λ）b＋（1－μ）c｝=0，（a＋c）·｛（1－μ－λ）a＋（1－λ）b＋（1－μ）c｝=0由上可得：2－μ－2λ=02－λ－2μ=0。即λ=2/3，μ=2/3。则:MN=－1/3a＋1/3b＋1/3c。∴|MN|=√33∕。同理可知：M、N分别分AC�、C1D所成的比是2：1。例题二：如图：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=900，AB=AC=2，AA1=4，E为CC1的中点，求作异面直线AB1与A1E的公垂线段，并求出其公垂线段的长。EC'B'ACBA1HG解：现用坐标法进行求解。如图建立空间直角坐标系：则A（0，0，0），A1（0，0，4），B1（2，0，4），E（0，2，2），不妨设GH是AB1与A1E的公垂线段，AH=xAB1，A1G=yA1E，AH=（2x，0，4x），A1G=（0，2y，－2y），HB1=（1－x）AB1HG=HB1+B1A1+A1G=（－2x，2y，4－4x－2y）。由HG·AB1=0，HG·A1E=0可得：5x+2y=4x+y=1，解得：x=2/3，y=1/3。∴HG=（－43∕，23∕，23∕）由向量模可得：GH=2√63∕。即：H分AB的比为2：1，G分AE的比为1：2。此题也可用基向量法进行求解。由以上可知：这两种方法均可寻求空间图形中任意两异面直线的公垂线,并可运用向量模的知识求出公垂线段的长度。
