课题：正弦定理、余弦定理（3）教学目的：1奎屯王新敞新疆进一步熟悉正、余弦定理内容；2奎屯王新敞新疆能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3奎屯王新敞新疆能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4奎屯王新敞新疆能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式奎屯王新敞新疆教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求奎屯王新敞新疆授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发引导式1奎屯王新敞新疆启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2奎屯王新敞新疆引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：正弦定理：余弦定理：，二、讲授新课：1奎屯王新敞新疆正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它奎屯王新敞新疆其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们奎屯王新敞新疆两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决奎屯王新敞新疆例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值奎屯王新敞新疆解： (这是角的关系)，∴(这是边的关系)奎屯王新敞新疆于是，由合比定理得例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列奎屯王新敞新疆求证：sinA＋sinC＝2sinB用心爱心专心证明： a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b(这是边的关系)①又②③将②、③代入①，得整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系)奎屯王新敞新疆2奎屯王新敞新疆正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值奎屯王新敞新疆解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150° 20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角奎屯王新敞新疆设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝c2（※）而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝∴原式＝奎屯王新敞新疆例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长奎屯王新敞新疆()分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系奎屯王新敞新疆其中利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的奎屯王新敞新疆解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则,①又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cosα将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)所以此三角形三边长为4，5，6奎屯王新敞新疆评述：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程奎屯王新敞新疆例5已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长奎屯王新敞新疆分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用奎屯王新敞新疆解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得用心爱心专心①②③由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c）④将②代入④得400＋3ac...
