听课随笔第6课时等差数列的前n项和(1)【学习导航】知识网络学习要求1.掌握等差数列前n项和公式及其推导过程.2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题【自学评价】1.等差数列的前项和:公式1:公式2:;2.若数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn,则数列{an}为等差数列.3.若已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则an可用Sn表示:【精典范例】【例1】在等差数列{an}中,(1)已知,,求;(2)已知,,求.【解】(1)根据等差数列前n项和公式,得(2)根据等差数列前n项和公式,得【例2】在等差数列{an}中,已知,,,求及n.【解】由已知,得由②,得代入①后化简,得点评:在等差数列的通项公式与前n项和公式中,含有,d,n,,五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量.【例3】在等差数列{an}中,已知第1项到第10项的和为310,第11项到第20项的和为910,求第21项到第30项的和.【解】即解得思维点拔数列{an}是等差数列,前项和是,那么仍成等差数列,公差为(为确定的正整数)【例4】根据数列{an}的前n项和公式,判断下列数列是否是等差数列.(1)Sn=2n2-n(2)Sn=2n2-n+1【解】(1)a1=S1=1当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)]=2(2n-1)-1=4n-3∵n=1时也成立,∴an=4n-3an+1-an=[4(n+1)-3]-[4n-3]=4∴{an}成等差数列(2)a1=S1=2a2=S2-S1=5a3=S3-S2=9∵a2-a1≠a3-a2∴{an}不是等差数列.点评:已知Sn,求an,要注意a1=S1,当n≥2听课随笔听课随笔时an=Sn-Sn-1,因此an=.【追踪训练一】:1.在等差数列{an}中,若S12=8S4,则等于(A)A.B.C.2D.2.在等差数列{an}和{bn}中,a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为(D)A.0B.100C.1000D.100003.一个等差数列的第5项等于10,前3项的和等于3,那么(A)A.它的首项是-2,公差是3B.它的首项是2,公差是-3C.它的首项是-3,公差是2D.它的首项是3,公差是-24.在等差数列{an}中,已知a11=10,则S21=___210___5.已知数列{an}的前n项和为Sn=4n2-n+2,则该数列的通项公式为(B)A.an=8n+5(n∈N*)B.an=C.an=8n+5(n≥2)D.an=8n-5(n≥1).【选修延伸】【例5】设是等差数列,求证:以为通项公式的数列是等差数列。【证明】设等差数列的公差为,前项的和为,则。(常数)()。是等差数列。【例6】已知等差数列{an}满足:Sp=q,Sq=p,求Sp+q(其中p≠q).【解】由已知Sp=q,Sq=p得pa1+①qa1+②①-②整理得=-1∴=(p+q)=-(p+q)点评:本问题即是在a1、d、n、an、Sn中知三求二问题,但在解方程的过程中体现出了较高的技巧;本题有多种解法,也可考虑设Sn=An2+Bn或成等差数列去求解.【追踪训练二】1.等差数列{an}的前n项和Sn=2n2+n,那么它的通项公式是(C)A.an=2n-1B.an=2n+1C.an=4n-1D.an=4n+12.数列1,,…的前100项的和为(A)A.13B.13C.14D.143.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a6+a7+a8=__45____.4.一个等差数列,前项的和为25,前项的和为100,求前项的和.【解】【答案】前项的和为225【师生互动】学生质疑教师释疑