第6课时等差数列的前n项和（1）VIP免费

听课随笔第6课时等差数列的前n项和（1）【学习导航】知识网络学习要求1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程．2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题【自学评价】1.等差数列的前项和：公式1：公式2：；2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝An2＋Bn，则数列｛an｝为等差数列.3.若已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则an可用Sn表示:【精典范例】【例1】在等差数列｛an｝中，（１）已知，，求；（２）已知，，求．【解】（１）根据等差数列前ｎ项和公式，得（２）根据等差数列前ｎ项和公式，得【例2】在等差数列｛an｝中，已知，，，求及n.【解】由已知，得由②，得代入①后化简，得点评:在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有，ｄ，ｎ，，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．【例3】在等差数列｛an｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．【解】即解得思维点拔数列{an}是等差数列,前项和是,那么仍成等差数列,公差为(为确定的正整数)【例4】根据数列｛an｝的前n项和公式，判断下列数列是否是等差数列.(1)Sn＝2n2－n(2)Sn＝2n2－n＋1【解】(1)a1＝S1＝1当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－［2(n－1)2－(n－1)］＝2(2n－1)－1＝4n－3∵n=1时也成立，∴an＝4n－3an＋1－an＝［4(n＋1)－3］－［4n－3］＝4∴｛an｝成等差数列(2)a1＝S1＝2a2＝S2－S1＝5a3＝S3－S2＝9∵a2－a1≠a3－a2∴｛an｝不是等差数列.点评：已知Sn，求an，要注意a1＝S1，当n≥2听课随笔听课随笔时an＝Sn－Sn－1，因此an＝.【追踪训练一】：1.在等差数列｛an｝中，若S12=8S4,则等于(A)A.B.C.2D.2.在等差数列｛an｝和｛bn｝中，a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列｛an+bn｝的前100项的和为(D)A.0B.100C.1000D.100003.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么(A)A.它的首项是－2，公差是3B.它的首项是2，公差是－3C.它的首项是－3，公差是2D.它的首项是3，公差是－24.在等差数列｛an｝中，已知a11=10,则S21=___210___5.已知数列{an}的前n项和为Sn=4n2－n+2,则该数列的通项公式为(B)A.an=8n+5(n∈N*)B.an=C.an=8n+5(n≥2)D.an=8n－5(n≥1).【选修延伸】【例5】设是等差数列，求证：以为通项公式的数列是等差数列。【证明】设等差数列的公差为，前项的和为，则。（常数）（）。是等差数列。【例6】已知等差数列｛an｝满足：Sp＝q，Sq＝p，求Sp＋q(其中p≠q).【解】由已知Sp＝q，Sq＝p得pa1＋①qa1＋②①－②整理得＝－1∴＝(p＋q)＝－(p＋q)点评：本问题即是在a1、d、n、an、Sn中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；本题有多种解法，也可考虑设Sn＝An2＋Bn或成等差数列去求解.【追踪训练二】1.等差数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是(C)A.an=2n－1B.an=2n+1C.an=4n－1D.an=4n+12.数列1，，…的前100项的和为(A)A.13B.13C.14D.143.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a6+a7+a8=__45____.4.一个等差数列，前项的和为25，前项的和为100，求前项的和.【解】【答案】前项的和为225【师生互动】学生质疑教师释疑