听课随笔第5课时等差数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络学习要求1．体会等差数列与一次函数的关系；2．初步通过数列的下标研究数列。【自学评价】1．是等差数列2．已知是等差数列，若，则【精典范例】【例1】已知等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图像。【解】【答案】等差数列的通项公式ａｎ＝２ｎ－１是关于ｎ的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点（ｎ，ａｎ）均在直线ｙ＝２ｘ－１上。【例2】（１）在等差数列｛ａｎ｝中，是否有（ｎ≥２）？（２）在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？【解】【例3】如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，这三个正方形的面积之和是１７９ｃｍ２．（１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；（２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？【解】（１）设公差为ｄ（ｄ＞０），ＢＣ＝x，则ＡＢ＝x－ｄ，ＣＤ＝x＋ｄ．由题意得解得或（舍去）ＡＢ＝３（ｃｍ），ＢＣ＝７（ｃｍ），ＣＤ＝１１（ｃｍ）（２）正方形的边长组成首项是３，公差是４的等差数列｛ａｎ｝，所以ａ１０＝３＋（１０－１）×４＝３９．ａ２１０＝３９２＝１５２１（ｃｍ２）．所求正方形的面积为１５２１ｃｍ２．【追踪训练一】：1．已知等差数列的通项公式为，求它的首项和公差，并画出它的图象．【答案】略2.已知ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列．（１）ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？（２）ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？【答案】（1）（2）３．已知等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ．（１）将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？（２）由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？【答案】（1）是等差数列，公差是（2）是等差数列，首项是，公差是４．一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．【答案】三边长的比为５．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？听课随笔【答案】需支付运费202.5元【选修延伸】【例4】在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ（ｐ≠ｑ），求ａｐ＋ｑ【解】【答案】ａｐ＋ｑ=0【例5】如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；（２）第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？【解】【答案】（1）（2）298个三角形【追踪训练二】：1.若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8=3.2.若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则（D）A.B.C.D.3.若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.【解】a=6，相应的数列为：2，8，14a=9，相应的数列为：5，8，11a=12，相应的数列为：2，8，144.已知，，求【解】3437526331348531nnnnn【师生互动】学生质疑教师释疑
