第3课时——正弦定理（3）（教师版）VIP免费

听课随笔第3课时正弦定理（3）知识网络学习要求1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；2．熟记正弦定理及其变形形式；3．判断△ＡＢＣ的形状.【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC中，,为的外接圆的半径2．三角形的面积公式：（1）s===（2）s=（3）s=【精典范例】【例1】在△ＡＢＣ中，已知＝＝，试判断△ＡＢＣ的形状．【解】令＝ｋ，由正弦定理，得代入已知条件，得＝＝，即tanＡ＝tanＢ＝tanＣ．又Ａ，Ｂ，Ｃ∈（０，π），所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，从而△ＡＢＣ为正三角形．点评:通过正弦定理，可以实现边角互化．【例2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明＝．【证】设∠ＢＡＤ＝α，∠ＢＤＡ＝β，则∠ＣＡＤ＝α，∠ＣＤＡ＝１８０°－β．在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中分别运用正弦定理，得＝，＝．又ｓｉｎ（１８０°－β）＝ｓｉｎβ，所以＝，即＝．【例3】根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．（1），，，求；（2），，，求；（3），，，求；（4），，，求；（5），，，求．【解】（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．（5）由于为锐角，又，即，∴无解．追踪训练一1.在△ABC中，已知b=6，c=10，B=30°，则解此三角形的结果是（C）A.无解B.一解听课随笔听课随笔C.两解D.解的个数不能确定2.在△ABC中，若，则等于（D）A．B．C．D．3.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（D）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能确定D．等腰三角形【选修延伸】【例4】如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，求的最大值和最小值．【解】由于为正三角形的中心，∴，，设，则，在中，由正弦定理得：，∴，在中，由正弦定理得：，∴，∵，∴，故当时取得最大值，所以，当时，此时取得最小值．追踪训练二1.在中，，则(D)A．B．C．D．2.在中，若，且，则4，5，6．3.已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶2∶，则A∶B∶C等于(A)A．123∶∶B．231∶∶C．132∶∶D．312∶∶4.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为(C)A.75°B.60°C.50°D.455．已知△ABC中，sinAsin∶Bsin∶C＝k(∶1-2k)∶3k(k≠0)，则k的取值范围为(B)A．(2，＋∞)B．(，)C．D．6．在△ABC中，证明：.证明：由正弦定理得：【师生互动】学生质疑教师释疑