第十课时函数的奇偶性（1）【学习导航】知识网络学习要求1．了解函数奇偶性的含义；2．掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性；3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质自学评价1．偶函数的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数．注意：（１）“任意”、“都有”等关键词；（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；2．奇函数的定义：如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数．3．函数图像与单调性：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称．4．函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；（2）计算的解析式，并考察其与的解析式的关系；(3)下结论.【精典范例】一．判断函数的奇偶性：例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数：判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)，(4)(5)析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。【解】(1)函数的定义域为，关于原点对称，且，所以该函数是奇函数。(2)函数的定义域为，关于原点对称，且，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，即是非奇非偶函数。(3)函数，的定义域为不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数。(4)函数的定义域为，关于原点对称，，所以该函数既是奇函数又是偶函数。(5)函数的定义域为，关于原点对称，，所函数奇偶性奇偶性定义奇偶性与函数图像奇偶性的证明单调区间定义听课随笔以该函数是偶函数。二．根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值：例2：已知函数是定义域为的奇函数，求的值．【解】∵是定义域为的奇函数，∴对任意实数都成立，把代入得，∴．三．已知函数的奇偶性求参数值：例3：已知函数是偶函数，求实数的值．【解】∵是偶函数，∴恒成立，即恒成立，∴恒成立，∴，即．追踪训练一1.给定四个函数；；；；其中是奇函数的个数是(B)１个２个３个４个2.如果二次函数是偶函数，则３．3.判断下列函数的奇偶性：（1）（2）（3）解：(1)函数的定义域为，关于原点对称，对于定义域中的任意一个，所以该函数是偶函数；(2)函数的定义域得关于原点对称，此时对于定义域中的任意一个，所以该函数是奇函数；(3)函数的定义域为关于原点对称，此时，所以该函数既是奇函数又是偶函数。【选修延伸】构造函数的奇偶性求函数值：例３:已知函数若，求的值。析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题。【解】方法一：由题意得①②①＋②得∵∴方法二：构造函数，则一定是奇函数又∵，∴因此所以，即．说明：１．如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有奇偶性；根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；２．奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；思维点拔：一、等式和的变形形式：我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中，处了将进行化简，其方向是或以外，我们还可以看到其等价形式、或当恒成立时，也有、．追踪训练1．下列结论正确的是：(C)偶函数的图象一定与轴相交；奇函数的图象一定过原点；偶函数的图象若不经过原点，则它与轴的交点的个数一定是偶数；定义在上的增函数一定是奇函数．2.若函数为奇函数，且当时，，则当时，有（C）（）听课随笔听课随笔≤0－3.设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．①y=－|f（x）|②y=xf（x2）③y=－f（－x）④y=f（x）－f（－x）中必为奇函数的有____②④____________．（要求填写正确答案的序号）．4.设奇函数f（x）的定义域为[－5,5].若当x∈[0,5]时,f（x）的图象如下图,则不等式的解是.5．若是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，求的表达式．解：由题意得：则【师生互动】学生质疑教师释疑
