【系统集成】高中数学 第九章 圆锥曲线与方程（教师用书）理VIP免费

第九章圆锥曲线与方程高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；4.了解圆锥曲线的简单应用；5.理解数形结合的思想；6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系.圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.知识网络19.1椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解析】由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，故a＝，由勾股定理得，()2－()2＝4c2，所以c2＝，b2＝a2－c2＝，故所求方程为＋＝1或＋＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C1的方程为.【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(－2,2)，B(－，0)，C(0，)，D(2，－2)，E(2，)，F(3，－2).通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.显然半焦距b＝，则不妨设椭圆的方程是＋＝1，则将点A(－2,2)代入可得m＝12，故该椭圆的方程是＋＝1.方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.不妨设有两点y＝2px1，①y＝2px2，②＝，则可知B(－，0)，C(0，)不是抛物线上的点.而D(2，－2)，F(3，－2)正好符合.又因为椭圆的交点在x轴上，故B(－，0)，C(0，)不可能同时出现.故选用A(－2,2)，E(2，)这两个点代入，可得椭圆的方程是＋＝1.题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos60°，因为m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤()2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，所以4a2－4c2≤3a2，所以≥，2即e≥，所以e的取值范围是[，1).(2)由(1)知mn＝b2，所以＝mnsin60°＝b2，即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤()2，|PF1|≥a－c.【变式训练2】已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝和圆(x－4)2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是.【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，则|PQ|＋|PR|≥(|PF1|－)＋(|PF2|－)＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.所以|PQ|＋|PR|的最小值为9.题型三有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左...