用导数研究函数单调性【课题】导数的应用—用导数研究函数的单调性【教学目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法【教学重点】利用导数判断函数单调性【教学难点】如何用导数研究函数的单调性【课型】新授课【教具】多媒体【引例】1、确定函数243yxx在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解：2243(2)1yxxx，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。问：1、为什么243yxx在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数？2、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1）能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）（2）（多媒体放映）【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数243yxx的单调区间也不容易。【探究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。问：如何入手？（图象）从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？1、研究二次函数243yxx的图象；（1）学生自己画图研究探索。（2）提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（3）（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。（4）提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？（5）学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；用心爱心专心都是反映函数随自变量的变化情况。3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1）观察三次函数3yx的图象；（几何画板演示）（2）观察某个函数的图象。（几何画板演示）指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）一般地，设函数()yfx在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内'()0fx，则()yfx为这个区间内的增函数；如果在这个区间内'()0fx，则()yfx为这个区间内的减函数。若在某个区间内恒有'()0fx，则()fx为常函数。这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：【例题讲解】例1、求证：31yx在(,0)上是增函数。由学生叙述过程老师板书：'3'2(1)2yxx，(,0)x，20x，即'0y，函数31yx在(,0)上是增函数。注：我们知道31yx在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。例2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f(′x)=(2x3－6x2+7)=6′x2－12x,令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x(∈－∞，0)时，f(′x)＞0，f(x)是增函数;当x(2∈，+∞)时，f(′x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x(0∈，2)时，f(′x)＜0，f(x)是减函数.学生小结：用导数...
