高中数学：不等式教案新课标人教B版必修5VIP免费

均值不等式2010-4一、基本知识梳理1.算术平均值：如果a﹑b∈R+，那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：如果a﹑b∈R+，那么叫做这两个正数的几何平均值3.重要不等式：如果a﹑b∈R，那么a2+b2≥(当且仅当a=b时，取“=”)均值定理：如果a﹑b∈R+，那么2ab≥(当且仅当a=b时，取“=”)均值定理可叙述为：4、变式变形：2222221;22;230;4252.abababbaabababab；5、利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值；（3）各项或各因式都能取得相等的值。6、若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。二、常见题型：例1、分式函数求最值求函数)01(112axxxaxy且的最小值。例2数字“1”应用已知191,0,0baba且，求ba的最小值。识记：此类题型可扩展为下列形式设321aaa、、均为正数，且maaa321，求321111aaaS的最小值。)111)((1321321aaaaaamS)]()()(3[1322331132112aaaaaaaaaaaammm9)2223(1，等号成立的条件是321aaa。例3带有根号形式的最值问题求函数]3,21[,37xxxy的最小值。4、识记下列问题：不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0ab时，abba222同时除以ab得2baab或baab11。例4：已知a,b,c均为正数，求证：cbaaccbba222。补充练习题题型一：利用均值不等式求最值问题1、求函数)0(132xxxxy的值域2、已知正数yx,满足,12yx求yx11的最小值3、已知zyx,,为正数，且2zyx，求2111yxS的最小值。答案：294、（1）已知0x，求xxxf312)(的最小值（2）已知3x，求xxxf34)(的最大值变式1：1、若Rx，求xxxf34)(的值域2、函数022xxxy的最大值为变式2：1、已知0,0yx且191yx，求yx的最小值2、Rx，求1sin51sin)(22xxxf的最小值3、当bax,,10为正常数时，求xbxay122的最小值变式3：1、函数)1,0(1)3(logaaxya的图象恒过定点，若点A在直线01nymx上，其中0mn，则nm21的最小值为2、求2)3(222xxy的最小值为3、已知xxxfxsin12009sin1)(,20的最小值为变式4：1、已知yx,都是正实数，且053xyyx（1）求xy的最小值（2）求yx的最小值题型二：利用均值不等式证明不等式1、已知Rcba,,，求证：（1）cabcabcba222（2）cbaaccbba2222222（3）cbaabcaccbbacba222222444变式5：1、已知,,,Rcba且,,,cba不全相等，求证：cbacabbacabc2、已知Rcba,,，且1cba，求证：31222cba3、已知1,0,0baba，求证：91111ba