必修1教材一道函数关系建立习题的复习课教学设计及反思函数是中学数学的核心内容,函数关系的建立是函数的”灵魂”,具有实际背景的函数关系的建立是一个难点.如何破解这个难点是笔者历年高三复习中面临的一个无法回避的问题.在今年的高三复习中,笔者试从必修1教材一道习题出发,通过该题的横向变式和纵向类比来突破,是否妥当,请各位专家和同行评品.1.具体的教学设计过程.原问题普通高中课程标准实验教科书数学必修1第126页复习参考题B组2如图1,OAB是边长为2的正三角形,设OAB位于直线)0(ttx左侧的图形的面积为)(tf.试求函数)(tf的解析式,并画出函数)(tfy的图象.本题是一道以求函数解析式为知识目标的习题,在解题过程中,可以训练学生观察、思考、分析图中的信息,由”形”的变化得出”数”的结论,由”形”的分类得出”数”的分类,很自然地寓数形结合、分类讨论于解题之中,使学生在不经意间经历了一次用联系的、变化的辩证观点审视事物的过程.同时,通过对本题的横向变式和纵向类比探究,能进一步培养学生的数形结合、分类讨论和类比思维能力,从而充分发挥习题的教学功能.教学中笔者采用”由易入难,进一步深化”的策略,首先给出本题的一种较简单情形,即问题1如图2,OAB是边长为2的正三角形,设OAB位于直线)0(tty上方的图形的面积为)(tf.试求函数)(tf的解析式,并画出函数)(tfy的图象.本题的解决是容易的,绝大多数学生都会用三角形相似来解决,但也会有一部分学生因为弄错直线ty上方的小三角形的高而出错;还有一部分学生会错求成直线下方的四边形面积.对于这些错误教师可简单点评一下.给出本题的目的是通过本题为引入原问题作准备.接下去即可抛出问题2,也就是原问题.问题2的解决一般不会有太大的挫折,我们可将重点放在探究下面两个问题.问题3如图3,OAB是边长为2的正三角形,设OAB位于直线)0(33ttxy左侧的图形的面积为)(tf.试求函数)(tf的解析式.该问题与原问题在本质上没有太大的变化,因为直线用心爱心专心xyOBA图2y=txyOBA图1x=txyOBA图3y=x+txyOBA图4y=-x+ttxy33与直线OB仍是垂直的;同理,如果将直线方程换成txy33也没有改变本质.问题4如图4,OAB是边长为2的正三角形,设OAB位于直线)0(ttxy左侧的图形的面积为)(tf.试求函数)(tf的解析式.本题的解决较前面的问题要难,因为所得三角形不是直角三角形了.如果有必要还可以考虑更一般的情况展开探究.前面的问题是在原问题的基础上进行横向变式而来的.纵方向上进行升维类比会怎样呢?三角形是边数最少的平面封闭图形,边数最少的空间封闭图形是四面体,类比后能得到如下一些问题.问题5如图5,四面体ABCD是边长为2的正四面体,设点B到垂直于底面BCD的截面OPQ的距离为t,截面左侧的图形的体积为)(tf.试求函数)(tf的解析式.问题6如图6,四面体ABCD是边长为2的正四面体,设点B到平行于侧面ACD的截面OPQ的距离为t,截面左侧的图形的体积为)(tf.试求函数)(tf的解析式.问题5和问题6可引导学生自己提出,这样不仅可以培养学生提出问题的能力,还能提高学生类比能力.上述两问题不只是平面到空间的简单类比,而且在问题解决过程中会遇到不少新问题,如面积计算到体积计算的转化.这些问题的解决又有利于学生解决问题的能力.根据学生的实际情况,还可以继续设计一些问题探究,如改变截面OPQ的位置.2.设计反思高三数学复习课是高三教学的重点,也是教学的难点,尤其是高三数学第一轮复习课如何上一直是众多中学数学教师研究的课题.由于高三数学复习时间的紧促,不允许我们像讲解新课一样开展第一轮复习教学,这就对复习课提出了更高的要求:既要让学生在课堂上获得基本解题方法的熟练掌握,又要保证复习进度.通过本节课的教学设计,笔者认识到1.教材中习题是教材编著者精心挑选或设计出来的,具有典型性、示范性和明确的针对性,而且是学生十分熟悉的,对习题的变式能在学生”最近发展区”产生认知冲突,从而构建新的知识体系,能使学生认识到教材才是”最好的参考书”,从而脱离”题海”与”书海”之苦,并且也是符合新课程理念和高考要求的.因为第一,标准倡导教师立足教材,强调教师不仅是教材的使用者,更应是教材的开发者和再设计...
