7．6归纳—猜想—论证一、教学内容分析归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．二、教学目标设计1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤．2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力．3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．三、教学重点与难点重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习．难点：对数学归纳法的进一步理解和应用．四、教学流程设计五、教学过程设计1．引入问题1．用数学归纳法证明：2222121(1)1234(1)(1).2nnnnn用心爱心专心例1，体验方法复习回顾实例引入例2，认识方法运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与基本步骤，为新课的引入做好铺垫．2．归纳猜想我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又是如何得到的呢？[说明]引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获得结论，二是归纳猜想．问题2．数列的通项公式22(55)nann，计算1234,,,aaaa的值，你可以得到什么结论？问题3．费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．费马认为，当n∈N时，221n一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了5221=4294967297=6700417×641，从而否定了费马的推测．问题4．设2()41fnnn，则当n∈N时，()fn是否都为质数？(0)41f，(1)43f，(2)47f，(3)53f，(4)61f，(5)71f，(6)83f，(7)97f，(8)113f，(9)131f，(10)151f，，(39)1601f．但是(40)16814141f是合数．找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来！3．归纳猜想论证在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考虑一些特例，进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜测的结论一定正确吗？不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确，然后一定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项值，由此猜测用心爱心专心123(1)(1)321nannn的有限项表达式，并加以证明．选题目的：（1）引导学生体验从特殊到一般的思考过程，形成归纳猜想的意识．（2）这里去掉了原题中“并用数学归纳法证明”的证明方法的要求，以期证明方法的开放性，引起学生更开阔的思考．如：123(1)(1)321nannn22[123(1)].nnnn（3）要证明2nan对一切正整数都成立，一个一个验证是不可能的．一些与正整数有关的命题可以用数学归纳法加以证明．例2．已知数列114，147，1710，…，1(32)(31)nn，…，设nS为该数列前n项和，计算1234,,,SSSS的值．根据计算结果猜测nS关于n的表达式，并用数学归纳法证明．选题目的：经历和体验“归纳—猜想—论证”的完整过程，理解掌握这一重要的思维方法．4．练习P36—1，2，35．小结本节课主要学习用“归纳—猜想—论证”的方法分析和解决问题．归纳—猜想—论证是我们分析和解决问题的常用方法，它经历三个过程：尝试，观察特例；体验，归纳猜测一般规律；理性，证明猜想．这...
