6.5最简三角方程（1）一、教学内容分析最简三角方程是三角学的重要内容之一，是三角函数的周期性和反三角函数概念的最直接运用．其学习要求是在理解三角方程意义的基础上，牢固掌握最简三角方程的解集，并会解简单的三角方程．同时，解三角方程需要用到较多的三角、代数知识，这有利于温故而知新，在复习旧知识的基础上，培养综合、灵活运用知识和方法的能力．此外，需要指出的是由于三角函数是周期函数，有无限多个自变量对应于同一函数值，因此三角方程的解集通常是无限集．二、教学目标设计1．理解三角方程解集的概念，掌握最简三角方程、与的解集的一般表示形式．[说明]解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，因此，必须在理解的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和基础．同时，特别要注意方程：的解集是，的解集是．2．会解简单的三角方程（形如，，等）．[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为、的齐次式；（4）引入辅助角．3．利用单位圆、函数的图像解与三角函数有关的方程问题.三、教学重点及难点．重点：最简三角方程的解集；难点：简单三角方程在指定范围内的解和增根、失根问题．四、教学用具准备用心爱心专心多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．观察问题：关于的等式，角有无数多个？如何得到满足条件的值？因为，所以．还可以写出哪些满足条件的的值？x=（因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等）还有其它满足条件的值吗？用心爱心专心应用举例（求最简三角方程在指定范围内的解，解简单的三角方程）巩固、反馈、总结、反思、作业通过正弦函数在区间的图像,研究的解利用单位圆进行研究的解三角方程的解集最简三角方程、与的解集有！因为诱导公式，所以也满足条件．为了方便，可以选择正弦函数,长度为一个周期的区间内,研究的解．如图所示：在平面上作直线交正弦函数在该区间内于两点，则的横坐标就是，即方程的解是.考虑到函数的周期为，所以的通解是．也可以利用单位圆进行研究．如图所示：在平面上作直线交单位圆于两点，则就是角的终边，也是角的终边，可得到的通解：．2．思考既然的解集是，那么能否将的解集写成用心爱心专心的形式？3．讨论的解集:当时，直线与单位圆无交点，因而方程无解；当时，直线与单位圆有一个交点，所以的解集是；同样,当时，直线与单位圆也有一个交点，的解集是；而当时，直线与单位圆有两个交点，的解集是,即．二、学习新课1．概念辨析（1）三角方程的定义：我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，把满足三角方程的所有的集合叫做三角方程的解集．（2）最简三角方程的定义：形如的方程叫做最简三角方程．（3）最简三角方程的解集：即已知三角函数值求角，先求出它在一个周期的区间上的解（特解），再根据三角函数的周期性，求出方程的所有解（通解）．最简三角方程的解集，见下表：用心爱心专心方程方程的解集2．例题分析例1、求下列方程的解集.（1）；（2）；（3）.解（1）将原方程化为，可得原方程的解集为．（2）将原方程化为，可得原方程的解集为：=．（3）将原方程化为，用心爱心专心可得原方程的解集为．例2、根据下列条件，求方程的解.（1）为锐角；（2）为某三角形内角；（3）为第二象限角；（4）解（1）由题设得；（2），或；（3）；（4）．例3、求方程的解集．解将原方程化为，可得，由，得；由，得．所以原方程的解集为．例4、解方程．解将原方程化为：，可得，即．用心爱心专心当时，；当时，；当时，．当取其他取值所得的都不合题意，所以原方程的解集为．[说明]求某一区间内方程解的问题，一般应先求出这个方程解的一般表达式，然后根据题设，确定整数的取值，得到所求方程在特定区间内的解，否则有可能将符合条件的解遗漏．本题中若将原方程化为：，根据所求解是锐角，把解直写成，解得，就少了两个解．另外本题应使用角度制.例5、解方程．解一两边平方，整理得∴经检验...
