普通高中课程标准实验教科书—数学必修Ⅱ[苏教版]平面上两点间的距离（2）教学目标（1）掌握中点坐标公式；（2）能运用中点坐标公式解决简单的问题．教学重点、难点中点坐标公式的推导及运用．教学过程一、问题情境1．情境：我们再来考察本小节开头的问题．由于两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以只需说明对角线AC和BD的中点相同．2．问题：怎样求AC、BD的中点呢？二、建构数学1．线段中点坐标：设线段AC的中点M的坐标为(,)xy，过点,,AMC向x轴作垂线，垂足分别为111,,AMC，则111,,AMC的横坐标分别为1,,6x，由1111AMMC得(1)6xx，解得16522x，同理得3(1)12y，所以线段AC的中点M的坐标为5(,1)2，同理可得线段BD的中点坐标也为5(,1)2，因此四边形ABCD的对角线AC和BD在点处互相平分，故这个四边形是平行四边形．2．结论：一般地，对于平面上两点111222(,),(,)PxyPxy，线段12PP的中点是00(,)Mxy，则用心爱心专心12012022xxxyyy．证明方法分析:（1）可仿照例题的方法而得；（2）第一步:由12MPMPkk证明12,,PMP在同一直线上；第二步:有距离公式证明12MPMP，所以M为12PP的中点．三、数学运用1．例题：例1．已知ABC的顶点坐标为(1,5),(2,1),(4,7)ABC，求BC边上的中线AM的长和AM所在的直线方程．解：如图，设点(,)xy．∵点M是线段BC的中点，∴24171,322xy，即M的坐标为(1,3)．由两点间的距离公式得22[1(1)](35)22AM．因此，BC边上的中线AM的长为22．由两点式得中线AM所在的直线方程为315311yx，即40xy．例2．已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：12AMBC．证：如图，以RtABC的直角边,ABAC所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系，设,BC两点的坐标分别为(,),(0,)boc，用心爱心专心∵M是BC的中点，∴点M的坐标为00(,)22bc，即(,)22bc．由两点间的距离公式得2222(0)(0)BCbcbc，22221(0)(0)222bcAMbc，所以，12AMBC．例3．已知直线1:12lyx，（1）求点(3,4)P关于l对称的点Q；（2）求l关于点(2,3)对称的直线方程．分析：由直线l垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．解．（1）设Q0(,)oxy，由于PQ⊥l，且PQ中点在l上，有00004234311222yxyx，解得0029585xy∴Q298(,)55（2）在l上任取一点，如(0,1)M，则M关于点(2,3)对称的点为(4,7)N．∵所求直线过点N且与l平行，∴方程为17(4)2yx，即2100xy．例4．一条光线经过点(2,3)P射在直线10xy上，反射后，经过点(1,1)A，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线10xy的对称点．解：入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线10xy对称，设P点关于直线10xy对称点的坐标为Q00(,)xy，因此PQ的中点在直线10xy上，且PQ所在用心爱心专心直线与直线10xy垂直，所以00003(1)12231022yxxy，解得(4,3)Q．反射光线经过AQ、两点，∴反射线所在直线的方程为4510xy．由10,4510,xyxy得反射点21(,)33R．入射光线经过P、R两点，∴入射线所在直线的方程为0145yx．2．练习：（1）课本第92页练习第1，2，3题．（2）已知定点(2,2),(8,4),,ABxR求2222(2)2(8)4xx的最小值．四、回顾小结：掌握中点坐标公式．五、课外作业：课本第97页习题第3、4、13、14、18、19题，课本第117页复习题第8、20题．用心爱心专心
