舜耕中学高一数学必修3导学案(教师版)编号周次上课时间月日周课型新授课主备人使用人课题1.3.1辗转相除法与更相减损术教学目标1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；2.能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.教学重点理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法教学难点把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言21世纪教育网课前准备多媒体课件教学过程：一、〖创设情境〗1.在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？2我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大（如求8251与6105的最大公约数）而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，使用上述方法求最大公约数就比较困难，我们又应该怎样求它们的最大公约数？这就是我们这一节课所要探讨的内容.二、〖新知探究〗21世纪教育网（一）辗转相除法例1求8251和6105的最大公约数.分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.解：8251＝6105×1＋2146由此可得，6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数，同样8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数，所以它们的最大公约数相等.重复上述步骤：6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则最后的除数37就是148和37的最大公约数，也就是8251与6105的最大公约数.以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法,也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的.〖思考〗：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？算法步骤如下：第一步：给定两个正整数，.第二步：计算除以所得的余数.第三步：.第四步：若，则，的最大公约数等于；否则，返回第二步.程序框图：程序：用心爱心专心INPUT"m,n=";m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmENDINPUT"m,n=";m,nr=mMODnWHILEr<>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmENDUNTIL型语句WHILE型语句〖思考〗：你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试写出算法步骤、程序框图和程序.随堂练习：1.利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）.2.课本P451（二）更相减损术中国古代的数学专著《九章算术》中也有求最大公约数的算法，就是更相减损术.即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”翻译为现代语言如下：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.例2用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝1414－7＝7所以，98与63的最大公约数是7.随堂练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数（答案：12）用心爱心专心（三）比较辗转相除法与更相减损术（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显；（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.三、〖归纳小结〗辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写.四、〖书面作业〗课本P48习题1.3A组1.五、〖板书设计〗六、〖教后记〗1.2.七、〖巩固练习〗1.《自主学习丛书》P14例1；2．《自主学习丛书》P15的巩固练习.八、〖课后探究〗1.根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数；2.可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能，说明无法实现的理由.3.利用辗转相除法是否可以求两数的最小公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现.21世纪教育网用心爱心专心(一)辗转相除法随堂练习：1、2、程序框图：程序：（二）更相减损术随堂练习：1、思考（三）比较辗转相除法与更相减损术（1）（2）
