高中数学：1.1《关于“球”的常见问题》教案（新人教A版必修2）VIP专享VIP免费

【关于“球”的常见问题】常见问题1:问题：怎样把圆和球的主要性质进行对照？解答:答：圆的主要性质球的主要性质1平面内与定点距离等于定长的点集（轨迹）空间与定点距离等于定长的点集（轨迹）2同圆（或等圆）的半径相等，直径是半径的2倍同球（或等球）的半径相等，直径是半径的2倍3与弦垂直的直径过弦的中点，圆半径2＝圆心到弦距离2＋弦长的一半2与截面积垂直的直径过截面圆的圆心，球半径2＝球心到截面圆距离2＋截面圆的半径24不过圆心的弦小于直径；经过圆心的弦是直径，是最大的弦不过球心的截得的是球的小圆，其半径和面积都小于球的大圆的半径和面积；经过球心的截面截得的是球的大圆，是最大的截面圆5过切点的圆半径垂直于圆的切线过切点的球半径垂直于球的切面[注]6圆周长＝2π×圆半径圆面积=＝π×圆半径2大圆周长＝2π×球半径球面积＝4π×球半径2球体积=[注]与球面只有一个公共点的平面叫做球的切面，这个公共点叫做切点。类似的，与球面只有一个公共点的直线叫做球的切线，这个公共点也叫做切点。球的切线有以下主要性质：1.过切点的球半径垂直于球的切线；2.过球面上一点的切线有无限多条，这些切线都在这一点的球的切面内。用心爱心专心常见问题2:球问题：地球半径为R，A、B两地都在北纬45°线上，且A、B的球面距离为，求A、B两地经度的差.解答:分析：如图，O为球心，O1为北纬45°小圆的圆心，知A、B的球面距离，就可求得∠AOB的弧度数，进而求得线段AB的长，在ΔAO1B中，∠AO1B的大小就是A、B两地的经度差.解设O1是北纬45°圈的中心， A、B都在此圈上，∴O1A＝O1B＝R. A、B的球面距离为，∴∠AOB＝＝＝,ΔAOB为等边三角形.AB＝R，在ΔAO1B中， O1A2+O1B2＝R2+R2＝R2＝AB2，∴∠AO1B＝90°.∴A、B两地的经度差是90°.评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.常见问题3:球问题：用心爱心专心已知圆锥的母亲长为l，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.解答:解设球半径为R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA，∠OAD＝，R＝OD＝AD·tan,VA＝l,AD＝lcosθ,∴R＝lcosθtan,又设正方体棱长为x，则3x2＝EG2＝4R2,x＝R.∴V正方体＝(lcosθtan)3.常见问题4:球问题：如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC，(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥P—ABC的体积的最大值.用心爱心专心解答:分析：先选其中两条弦PA、PB，设其确定的平面截球得⊙O1，AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，PADB是矩形，PD2＝AB2＝PA2+PB2，然后只要证得PC和PD确定是大圆就可以了.解(1)设过PA、PB的平面截球得⊙O1， PA⊥PB，∴AB是⊙O1的直径，连PO1并延长交⊙O1于D，则PADB是矩形，PD2＝PA2+PB2.设O为球心，则OO1⊥平面⊙O1， PC⊥⊙O1平面，∴OO1∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆，又PC⊥PD.∴CD是球的直径.故PA2+PB2+PC2＝PD2+PC2＝CD2＝4R2定值.(2)设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P—ABC的体积V＝xyz，V2＝x2y2z2≤()3＝·＝R6.∴V≤R3.即V最大＝R3.评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB是大圆，探求得定值4R2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.常见问题5:球问题：求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.用心爱心专心解答:解如图，作AH⊥底面BCD于H，则AH＝a，设内切球的球心为O，半径为r，O点与A、B、C、D相连，得四个锥体，设底面为S，则每个侧面积为S，有4··Sr＝S·AH，∴r＝AH＝a,设外接球心为O，半径R，过A点作球的半径交底面ΔCD于H，则H为圆BCD的圆心，求得BH＝a,AH＝a,由相交弦定理得a×(2R-a)＝(a)2.解得R＝a.常见问题6:球问题：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为()A.4B.2C.2D.用心爱心专心解答:解设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝，又 OA＝OB∴ΔAOB是等边三角形同理，ΔBOC、ΔCO...