高中数学选修本(理科)不定积分的运算法则VIP专享VIP免费

不定积分的运算法则目的要求1．掌握不定积分的线性性质．2．会利用线性性质和基本积分公式求较简单的函数的不定积分．内容分析1．不定积分的线性性质是指不定积分的两个运算法则．法则1是在k≠0时可将k提到积分号外；法则2是将几个函数的和(或差)的积分化为各个函数的积分的和(或差)．它们对不定积分的计算起着化繁为简的作用．这两个法则可合并推广为：＝，[af(x)]dxf(x)dxkkkknkkna11其中a1，a2，…，an是不全为0的常数．它与基本积分公式一起构成直接积分法的基础2．建立不定积分的线性性质可分两步进行：第一步是采取由特殊到一般的不完全归纳法或与导数的线性性质类比的方法猜测性质；第二步是根据原函数与不定积分的定义及导数的线性性质证明或否定猜想．证明性质的过程中，应说明不写积分常数的原因，并由此分析法则1为什么要限制k≠0．3．应用基本积分公式及不定积分的线性性质求不定积分是本节课的重点．为此，教科书配备了四道例题．前两道例题是直接运用基本积分公式及积分法则求出已知函数的不定积分．后两道例题的被积函数解析式是较复杂的多项式的积或商、三角函数式，求积分时，要先把被积函数进行适当的恒等变形，使之能运用基本积分公式表中的公式进行计算．讲解例题时，教师不能将三角函数形式的被积函数扩大到常用三角函数公式之外的情况．4．法则的应用包括正用与逆用，教科书缺乏逆用的实例．讲授时应作适当补充，这对全面掌握法则是有益的．教学过程1．复习引新(1)利用基本积分公式或不定积分定义求下列不定积分：①与②与－③＋④－sinxdxcosxdx2sinxdx(3cosx)dx(sinxcosx)dx(2sinx3cosx)dx(2)在不考虑积分常数的情况下，分析上述积分结果之间有什么联系．(3)教师利用不定积分的定义进一步说明在考虑积分常数的情况下，上述发现仍然成立．(4)能否将上述结论中的具体函数换成一般连续函数？怎样证明？2．构建新知(1)kf(x)dxkf(x)dx(k0)[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dxk0()师生总结并证明积分运算法则：＝，≠；＋＝＋，并说明≠的原因反证法．(2)说明积分运算法则与求导的线性性质的相似性，这种相似正是两种运算互逆的表现．(3)说明积分运算法则的作用：化繁为简，可用语言叙述各个法则的意义．3．反馈与巩固(1)例1求下列不定积分(教科书第156页)．用心爱心专心115号编辑①＋＋②－(2x5x3)dx(1xcosx)dx2小结：①积分的两个运算法则可合并为统一形式：[af(x)af(x)af(x)]dxaf(x)dxaf(x)dxaf(x)dxaaa01122nn1122nn12n＋＋…＋＝＋＋…＋，其中，，…，是不全为的常数．②被积函数若是函数C、xm、cosx、sinx、ax的线性运算结果，则可以直接运用法则及基本积分公式求不定积分．③积分结果只写一个任意常数即可．(2)例2求下列不定积分(教科书第156、157页)①＋－②③(x3)(x2)dxxdxdx()()cossinxxcoxxxx122小结：①对复杂的被积函数，应先进行代数或三角恒等变形，拆成几个能够运用公式积分的函数之和，再求解；②对求出的不定积分结果求导是检验不定积分运算正确性的常用方法．(3)反馈训练(教科书第159页练习)．(4)变式训练．题：求＋－－＋＋1(x3)(x2)dx(x3)(x2)dx分析：求两个不定积分的差，可逐个求，也可逆用法则整体求．想：＋－－＋＋＝＋－－＋＋＝－－(x3)(x2)dx(x3)(x2)dx[(x3)(x2)(x3)(x2)]dx(4x12)dx＝－－＋2x12xC2题2：已知f(x)＝excosx，g(x)＝exsinx①求f′(x)与g′(x)；②求与；③求＋．f(x)dxg(x)dx[f(x)dxg(x)dx]dx分析：若直接求与，则无从下手，必须从′与′的结果中寻找突破口；＋仍然是的连续函数，f(x)dxg(x)dxf(x)g(x)f(x)dxg(x)dxx可继续对其求不定积分．解：①f′(x)＝excosx－exsinx，g′(x)＝exsinx＋excosx②由①知f′(x)＝f(x)－g(x)，g′(x)＝f(x)＋g(x)，用心爱心专心115号编辑∴＝′＋′，＝′－′． ′＝＋，′＝＋，∴＝′＋′＝＋＋，f(x)f(x)g(x)g(x)g(x)f(x)f(x)dxf(x)Cg(x)dxg(x)Cf(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)C1212121212121212g(x)dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x)Cf(x)dxe(cosxsinx)Cg(x)dxe(sinxcosx)Cxx＝′－′＝－...