高中数学第二册(上)不等式的证明(3)0VIP专享VIP免费

不等式的证明(3)教学目的：1．掌握分析法证明不等式；2．理解分析法实质——执果索因；3．提高证明不等式证法灵活性奎屯王新敞新疆教学重点：分析法教学难点：分析法实质的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．重要不等式：如果2．定理：如果a,b是正数，那么3奎屯王新敞新疆公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2奎屯王新敞新疆4．≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）6．推论：如果，那么（当且仅当时取“=”）7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法奎屯王新敞新疆用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法奎屯王新敞新疆二、讲解新课：1奎屯王新敞新疆分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法奎屯王新敞新疆2．用分析法证明不等式的逻辑关系是：3．分析法的思维特点是：执果索因奎屯王新敞新疆4．分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……用心爱心专心115号编辑这只需要证明命题为真，从而又有…………这只需要证明命题A为真奎屯王新敞新疆而已知A为真，故命题B必为真奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1求证证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得即因为成立，所以成立即证明了说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法奎屯王新敞新疆②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真例2证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大奎屯王新敞新疆分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为奎屯王新敞新疆所以本题只需证明奎屯王新敞新疆证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明为了证明上式成立，只需证明两边同乘以正数，得因此，只需证明上式是成立的，所以这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大奎屯王新敞新疆说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的奎屯王新敞新疆用心爱心专心115号编辑四、课堂练习：已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立奎屯王新敞新疆(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd≤b2c2+a2d2即证0≤(bc-ad)2因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立奎屯王新敞新疆分析二:用综合法证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2∴≥|ac+bd|≥ac+bd奎屯王新敞新疆故命题得证奎屯王新敞新疆分析三:用比较法证法三: (a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2∴≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤奎屯王新敞新疆五、小结：通过本节学习，要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式，并加深认识不等式证明方法的灵活性，能综...