第十二讲同角三角函数关系及诱导公式知识要点：1.同角三角函数基本关系：（1）基本关系：①平方关系:sin2＋cos2＝1②商数关系:tan＝（≠k＋，k∈Z）；cot＝（≠k，k∈Z）．③倒数关系:（）（2）常用变换形式:（1）根据这三大关系，若已知一个角的位置，及其一个三角函数值，则一定能求出其余的三角函数值．（2）几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。2.诱导公式：（1）基本关系（一）（二）（三）（四）（五）（六）正弦余弦正切//（2）记忆及运用方法：①六组诱导公式统一为“”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正大化小小化锐，体现了化归思想。(1)利用诱导公式（三）将负角的三角函数变为正角的三角函数.(2)利用诱导公式（一）化为0°到360°间的角的三角函数.(3)进一步转化成锐角三角函数.二.基础练习1.化简的结果为－cos42.化简sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ=13.已知tanθ＝(其中0＜a＜1，θ是三角形的一个内角)，则cosθ的值是4.化简：2－sin221°－cos221°＋sin417°＋sin217°·cos217°＋cos217°解：原式＝2－（sin221°＋cos221°）＋sin217°（sin217°＋cos217°）＋cos217°＝2－1＋sin217°＋cos217°＝1＋1＝25．已知sin（π－α）＝log8，且α∈(－，0)，则tanα的值是－6．的值是.－7.求值：8.设，求。解：由有界性可知故则一、典型例题例1.化简：（1）化简（2）解：（1）原式＝＝＝＝＝＝＝cos300＝（2）原式＝＝＝1变式：化简：（1）.（2），（）.例2.已知)1,2(,cossinmmmxx且，求（1）xx33cossin；（2）xx44cossin的值..解：由sincos,xxm得212sincos,xxm即21sincos,2mxx（1）233313sincos(sincos)(1sincos)(1)22mmmxxxxxxm（2）24244222121sincos12sincos12()22mmmxxxx变式：已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.分析：依据已知条件及根与系数关系，列出关于m的方程去求解.解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α＋β＝，∴cosα＝sinβ 方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0中Δ＝4（m＋1)2－4·4m＝4(m－1)2≥0∴当m∈R，方程恒有两实根.又 cosα＋cosβ＝sinβ＋cosβ＝cosα·cosβ＝sinβcosβ＝∴由以上两式及sin2β＋cos2β＝1，得1＋2·＝()2解得m＝±当m＝时，cosα＋cosβ＝＞0，cosα·cosβ＝＞0，满足题意，当m＝－时，cosα＋cosβ＝＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.综上，m＝例3.已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.分析：依据已知条件与所求结论，寻求它们的关系（75°＋α)＋(105°－α)＝180°，结合三角函数诱导公式求得.解： cos(105°－α)＝cos［180°－(75°＋α)］＝－cos(75°＋α)＝－sin(α－105°)＝－sin［180°－(75°＋α)］＝－sin(75°＋α) cos(75°＋α)＝＞0又 α为第三象限角，∴75°＋α为第四象限角∴sin（75°＋α)＝－＝－＝－∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－＋＝变式：已知cos(－α)＝，求cos(π＋α)＋sin2(α－）的值.解：cos(π＋α)＝cos［π－（－α)］＝－cos(－α)＝－.又sin2(α－)＝1－cos2(－α)＝∴原式＝.例4．已知α是第三象限的角，且f(α)＝(1)化简f（α）；(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值；(3)若α＝－1860°，求f（α）的值.解：（1）f（α）＝＝＝－cosα（2）由已知得sinα＝－，cosα＝－，∴f(α)＝（3）f(－1860°）＝－例5.设是第二象限角,且求的值.解：是第二象限角,位于第一、三象限,即或又对(2)式两边平方得：由(3)式得例6.化简(1)(2)(3)法一：原式＝＝＝法二：原式＝＝＝＝＝＝法三：原式＝＝＝＝＝(2)原式＝(3)原式＝变式：化简(1)=-1(2)=例7.证明(1)＝(1)证明：左＝＝＝＝＝＝右，证毕.( cosθ≠0，∴分子、分母可同除以cosθ)变式：(1)求证:＝(2)已知，试确定使等式成立的角的集合。(1)证法一：由cosx≠0知1＋sinx≠0，于是左＝＝＝＝＝右证法二：由1－sinx≠0，cosx≠0于是右...
