第九章不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>ba-b>0；（2）a>b,b>ca>c；（3）a>ba+c>b+c；（4）a>b,c>0ac>bc；（5）a>b,c0,c>d>0ac>bd;（7）a>b>0,n∈N+an>bn;（8）a>b>0,n∈N+;（9）a>0,|x|0,c>d>0，所以ac>bc,bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z时成立
二、方法与例题1．不等式证明的基本方法
（1）比较法，在证明A>B或A0）与1比较大小，最后得出结论
例1设a,b,c∈R+，试证：对任意实数x,y,z,有x2+y2+z2【证明】左边-右边=x2+y2+z2用心爱心专心1所以左边≥右边，不等式成立
例2若a(k+2)k+1，即>1
因为用心爱心专心2，所以只需证，即证(k+1)2k+2>[k(
