高中数学球的体积 教案 北师大必修2VIP专享VIP免费

球的体积教案一、素质教育目标（一）知识教学点球的体积公式。（二）能力训练点1、充分分析平行于半球截面面积表达式S=πR2-πL2的几何意义、特征，从而找出满足祖日恒原理又可计算体积的几何体，提高学生分析问题、解决问题的能力。2、掌握球的体积公式，并会应用它解决有关的问题。（三）德育渗透点通过先用实验方法进行验证，然后再用证明球的体积的方法，使学生懂得对事物的认识往往是先有感性认识，然后再从理论上去证明，进而把感性认识提高到理性认识，这就是认识事物的规律。二、教学重点、难点1、教学重点：球的体积公式及其应用2、教学难点：球的体积公式的证明,特别是找那个满足祖日恒原理又可计算体积的几何体。三、课时安排1课时。四、教与学过程设计（一）引入新课师：我们前面学习了公理5及其推论，又学习了祖日恒原理（公理6），并以这两个公理为基础推出了柱体、锥体的体积，这一节课我们要应用祖日恒原理推出球体的体积公式。先做这样一个实验：取一个半径为R的半球，再各取一个底面半径与高都是R的圆柱桶和圆锥，先把圆锥放入圆柱桶内，再将半球里面装满细沙，把这些细沙倒入圆柱桶内，这时圆柱桶恰好装满，（见图2-59），这个实验给我们什么启示？V半球=V圆柱-V圆锥=πR3-1/3πR3=2/3πR3故V球=2V半球=4/3πR2我们回忆一下祖日恒原理（请一位学生叙述原理的内容），求球的体积关键是的一个满足原理又可计算体积的几何体，这个几何体的形状应是怎样的？先观察与半径为R的半球底面平行，且与底面距离为L的截面面积S=πR2-πL2，而πR2=πL2可能作一圆环面积，其中圆环的大圆半径为R对任意截面不变，故底面半径为R的圆柱满足；小圆半径要等于L，轴截面为等腰直角三角形的倒圆锥具有这性质，这就启发我们用祖日恒原理可以这样推导：取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半球放在同一个平面α上（图2-59），因为圆柱的高等于R，所以这个几何体和用心爱心专心半球都夹在两个平行平面之间。用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面，如果截面与平面α的距离为L，那么圆面半径r=√R2-L2，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为L（因为△O′O1B是等腰三角形）。因此：S圆=πR2=π（Ra-L2），S圆环=πR2-πL2=π（Ra-L2）∴S圆=S圆环。根据祖日恒原理，这两个几何体的体积相等，即：1/2V球=πR2.R-1/3πR2.R=2/3πR3∴V球=4/3πR3因此，我们得到下面定理：定理如果球的半径是R，那么它的体积是V球=4/3πR3注重：∵S球表面积=4πR3，∴V球=1/3S球表面积R，其形式与锥体的体积公式相似。例1有一种空心钢球，重142kg，测得外径等于5.0cm，求它的内径（钢的比重是7.9g/cm3）解：设空心钢球的内径为2xcm，那么钢球的重量是7.9[4/3π(5/2)2-4/3πx3]=142.X3=(5/2)2-142×3/7.9×4π≈11.3∴x≈2.242x≈4.5(cm).答：空心钢球的内径为4.5厘米。例2将半径分别为1cm、2cm、3cm的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的表面积。解：设大锡球的半径为R，表面积为S。则4/3πR3=4π×13+4/3π×22+4/3π×33得R3=36R=3√36S=4πR2=4π（3√36）2=243√6π（cm2）.答：这个大锡球的表面积是243√6πcm2（二）练习课本P.110中1、2。（三）总结这节课我们学习了球的体积公式及公式的应用。四、作业五、板书设计球的体积球的体积公式V=4/3πR3）例1……例2……用心爱心专心用心爱心专心